a: Xét ΔOAD và ΔOCB có

OA=OC

\(\widehat{AOD}\) chung

OD=OB

Do đó: ΔOAD=ΔOCB

b: Xét ΔOBD có \(\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OC}{OD}\)

nên AC//BD

c: Ta có: ΔOAD=ΔOCB

=>\(\widehat{OAD}=\widehat{OCB};\widehat{ODA}=\widehat{OBC}\)

Ta có: \(\widehat{OAD}+\widehat{DAB}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{OCB}+\widehat{DCB}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{OAD}=\widehat{OCB}\)

nên \(\widehat{DAB}=\widehat{DCB}\)

Ta có: OA+AB=OB

OC+CD=OD

mà OA=OC và OB=OD

nên AB=CD

Xét ΔMAB và ΔMCD có

\(\widehat{MAB}=\widehat{MCD}\)

AB=CD

\(\widehat{MBA}=\widehat{MDC}\)

Do đó: ΔMAB=ΔMCD

=>MB=MD

Xét ΔOMB và ΔOMD có

OM chung

MB=MD

OB=OD

Do đó: ΔOMB=ΔOMD

=>\(\widehat{BOM}=\widehat{DOM}\)

=>\(\widehat{xOM}=\widehat{yOM}\)

=>OM là phân giác của góc xOy

d: Ta có: OB=OD

=>O nằm trên đường trung trực của BD(1)

Ta có: MB=MD

=>M nằm trên đường trung trực của BD(2)

Ta có: NB=ND

=>N nằm trên đường trung trực của BD(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra O,M,N thẳng hàng

Mình nghĩ khó mà có người giải hết chỗ bài tập đấy của bạn, nhiều quá

3/ (Bạn tự vẽ hình giùm)

a/ \(\Delta ABC\)và \(\Delta ADC\)có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

Cạnh AC chung

\(\widehat{CAD}=\widehat{ACB}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\)(g. c. g)

=> AD = BC (hai cạnh tương ứng)

và AB = DC (hai cạnh tương ứng)

b/ Ta có AD = BC (cm câu a)

và \(AN=\frac{1}{2}AD\)(N là trung điểm AD)

và \(MC=\frac{1}{2}BC\)(M là trung điểm BC)

=> AN = MC

Chứng minh tương tự, ta cũng có: BM = ND

\(\Delta AMB\)và \(\Delta CND\)có:

BM = ND (cmt)

\(\widehat{ABM}=\widehat{NDC}\)(AB // CD; ở vị trí so le trong)

AB = CD (\(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\))

=> \(\Delta AMB\)= \(\Delta CND\)(c. g. c)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{NCD}\)(hai góc tương ứng)

và \(\widehat{BAC}=\widehat{ACN}\)(\(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\))

=> \(\widehat{BAC}-\widehat{BAM}=\widehat{ACN}-\widehat{NCD}\)

=> \(\widehat{MAC}=\widehat{ACN}\)(1)

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(\widehat{AMC}=\widehat{ANC}\)(2)

và AN = MC (cmt) (3)

=> \(\Delta MAC=\Delta NAC\)(g, c. g)

=> AM = CN (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

c/ \(\Delta AOB\)và \(\Delta COD\)có:

\(\widehat{BAO}=\widehat{OCD}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

AB = CD (cm câu a)

\(\widehat{ABO}=\widehat{ODC}\)(AD // BC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta AOB\)= \(\Delta COD\)(g. c. g)

=> OA = OC (hai cạnh tương ứng)

và OB = OD (hai cạnh tương ứng)

d/ \(\Delta ONA\)và \(\Delta MOC\)có:

\(\widehat{AON}=\widehat{MOC}\)(đối đỉnh)

OA = OC (O là trung điểm AC)

\(\widehat{OAN}=\widehat{OCM}\)(AM // NC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta ONA\)= \(\Delta MOC\)(g. c. g)

=> ON = OM (hai cạnh tương ứng)

=> O là trung điểm MN

=> M, O, N thẳng hàng (đpcm)

gggggggggggggggggggggggggggggg

a: Xét tứ giác ABMC có

O là trung điêm chung của AM và BC

góc BAC=90 độ

=>ABMC là hình chữ nhật

=>AB=MC và MC//AB

b: ΔACB vuông tại A

mà AO là trung tuyến

nên OA=OB=OC

c: Xet ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên 1/AH^2=1/AB^2+1/AC^2

Hình bạn tự vẽ

a, Nối M với N

Xét △BMN có:

BM=BN(gt)

=>△BMN cân tại B

=>∠BMN=(180⁰ - ∠B) / 2 (1)

Mà ∠BAC=(180⁰ - ∠B) / 2 (△ABC cân tại B) (2)

Từ (1) và (2) => ∠BMN=∠BAC (3)

Mà ∠BMN đồng vị ∠BAC (4)

Từ (3) và (4) => MN//AC

b, Xét △CMB và △ANB có

\(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB = AC (△ABC cân tại B)}\\\text{∠ABC chung}\\\text{BM=BN}\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=>△CMB = △ANB (c.g.c)

=> ∠BMC = ∠BNC

=>∠BMN + ∠CMN = ∠BNM + ∠MNA

Mà ∠BMN = ∠BNM (△BMN cân tại B)

=>∠BMN + ∠CMN = ∠BMN + ∠MNA

=> ∠CMN = ∠MNA

=> △IMN cân tại I

=> MI=NI (5)

Mà BM = BN (6)

Từ (5) và (6) => BI là đường trung trực của MN

=> BI ⊥ MN

Có gì không hiểu bạn cứ hỏi mình 

giải :

Xét tam giác ABC cân tại A có:

góc ABC = góc ACB (t/c)

mà góc MIB = góc ACB ( 2 góc đồng vị do MI//AC)

=> góc ABC = góc MIB

hay góc MBI = góc MIB => tam giác MIB cân tại M ( dấu hiệu nhận biết)

=> MB=MI ( t/c)

Mà MB= CN (gt)

=> MI=CN

Xét tứ giác MINC có

MI// CN (gt)

MI = CN (cmt)

=> tứ giác MINC là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết)

Xét hình bình hành MINC có

MN giao với IC tại O (gt)

=> O là trung điểm của MN(t/c)

=> OM= ON

Vậy OM=ON

Tự vẽ hình.

a) Xét tam giác OAB có AB // CD

⇒AOOC=OBOD=ABDC⇒12OC=93=18DC⇒AOOC=OBOD=ABDC⇒12OC=93=18DC ( Hệ quả định lý Ta - lét ) (1)

=> OC = 4cm, DC = 6cm

Vậy OC = 4cm và DC = 6cm

b) Xét tam giác FAB có DC // AB

⇒FDAD=FCCB⇒FD.BC=FC.AD⇒FDAD=FCCB⇒FD.BC=FC.AD ( ĐPCM )

c) Theo (1), ta đã có:

OAOC=OBOD⇒OAOA+OC=OBOB+OD⇒OAAC=OBBDOAOC=OBOD⇒OAOA+OC=OBOB+OD⇒OAAC=OBBD (2)

Vì MN // AB mà AB // DC => MN // DC

Xét tam giác ADC có MO// DC

⇒MODC=AOAC⇒MODC=AOAC ( Hệ quả định lý Ta - lét ) (3)

CMTT : ONDC=OBDBONDC=OBDB (4)

Từ (2), (3) và (4) => MODC=NODC⇒MO=NOMODC=NODC⇒MO=NO ( ĐPCM )

a: Xét ΔABM vuông tại M và ΔACM vuông tại M có

AB=AC

AM chung

Do đó: ΔABM=ΔACM

b: Xét ΔABE và ΔACD có

AB=AC

\(\widehat{BAE}\) chung

AE=AD

Do đó: ΔABE=ΔACD

Xét ΔABC có \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

nên DE//BC

c: Ta có: AD+DB=AB

AE+EC=AC

mà AD=AE và AB=AC

nên DB=EC

Xét ΔDBC và ΔECB có

DB=EC

\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)

BC chung

Do đó: ΔDBC=ΔECB

=>\(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\)

=>\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=>ΔIBC cân tại I

Xét ΔAIB và ΔAIC có

AI chung

IB=IC

AB=AC

Do đó: ΔAIB=ΔAIC

=>\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

=>AI là phân giác của góc BAC