Bài 1: 

a: Xét ΔABD có

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD

Do đó: MQ là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: MQ//BD và \(MQ=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBCD có 

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của DC

Do đó: NP là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: NP//BD và \(NP=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP

hay MQPN là hình bình hành

a) Ta có: \(AB//CD\left(hbhABCD\right)\Rightarrow AM//DN\)

\(AB=CD\left(hbhABCD\right)\Rightarrow AM=DN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}CD\)

Tứ giác AMND có: \(AM//DN;AM=DN\left(cmt\right)\)

\(\Leftrightarrow AMND\) là hbh ( dấu hiệu)

b) Ta có: \(AB//CD\left(hbhABCD\right)\Rightarrow MB//DN\)

\(AB=CD\left(hbhABCD\right)\Rightarrow BM=DN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}CD\)

Tứ giác MBND có: \(MB//DN;MB=DN\left(cmt\right)\)

a: Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

AM=AD

DO đó: AMND là hình thoi

b: Xét tứ giác MBND có

MB//ND

MB=ND

Do đó: MBND là hình bình hành

=>MD vuông góc với BN

Xét tứ giác MBCN có

MB//CN

MB=CN

MB=BC

Do đó: MBCN là hình thoi

=>MC vuông góc với BN tại Q và Q la trung điểm chung của MC và BN

=>MD vuông góc với MC

c: Xét tứ giác MPNQ có góc MPN=góc MQN=góc PMQ=90 độ

nên MPNQ là hình chữ nhật

Để MNPQ là hình vuong thì PM=PN

=>AN=MD

=>AMND là hình chữ nhật

=>góc BAD=90 độ

câu c:

-chứng minh ABPD là hình bình hành suy ra:Elà trung điểm của AP

-Suy ra QElà đường trung bình tam giác APD , do đó :QE // PD (1)

-Mà QN là đường trung binh hình thang ABCD suy ra: QN//CD (2)

-Từ (1) và (2) suy ra :Q,N,E thẳng hành (theo tiên đề ơ-cơlit)

 a) Do ABCD là hình bình hành (gt)

⇒ AB = CD   (1)

Do E là trung điểm AB (gt)

⇒ AE = BE = AB : 2   (2)

Do F là trung điểm CD (gt)

⇒ CF = DF = CD : 2   (3)

Từ (1), (2) và (3)

⇒ AE = BE = CF = DF

Do ABCD là hình bình hành (gt)

⇒ AB // CD

⇒ AE // CF

Tứ giác AECF có:

AE // CF (cmt)

AE = CF (cmt)

⇒ AECF là hình bình hành

b) Do AB // CD (cmt)

⇒ BE // DF

Tứ giác BEDF có:

BE // DF (cmt)

BE = DF (cmt)

⇒ BEDF là hình bình hành

⇒ BF // DE

⇒ BK // EI và KF // DI

∆CDI có:

F là trung điểm CD (gt)

KF // DI (cmt)

⇒ K là trung điểm của CI

⇒ CK = IK (4)

∆ABK có:

E là trung điểm của AB (gt)

BK // EI (cmt)

⇒ I là trung điểm của AK

⇒ AI = IK (5)

Từ (4) và (5)

⇒ AI = IK = KC

a: Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

AM=AD

DO đó: AMND là hình bình hành

b: Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

BM=DN

Do đó: BMDN là hình bình hành

=>DM//BN

Xét ΔMDC có

MN là đườg trung tuyến

MN=DC/2

Do đó: ΔMDC vuông tại M

=>MD vuông góc với MC

c: Xét ΔNAB có 

NM là trung tuyến

NM=AB/2

Do dó: ΔNAB vuông tại N

Vì AMND là hình thoi

nên AN vuông góc với MD tại P

Xét tứ giác MPNQ có

góc MPN=góc PMQ=góc PNQ=90 độ

nên MPNQ là hình chữ nhật

Để MNPQ là hình vuông thì MP=PN

=>AN=MD

=>AMND là hình vuông

=>góc BAD=90 độ

Bài 2: 

a: Xét ΔADN vuông tại N và ΔCBM vuông tại M có

AD=CB

góc ADN=góc CBM

DO đó: ΔADN=ΔCBM

=>DN=BM và AN=CM

b: Xet tứ giác AMCN có

AN//CM

AN=CM

Do đó: AMCN là hình bình hành

c: Gọi O là giao của AC và BD

=>O là trung điểm của AC

Xet ΔAKC có AN/AK=AO/AC

nên NO//KC

=>KC//BD

Xét ΔBAK có

BN vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔBAK cân tại B

=>BA=BK=DC

Xét tứ giác BDKC có

KC//BD

DC=BK

Do đo; BDKC là hình thang cân

Bài 2:

a: Xét ΔADN vuông tại N và ΔCBM vuông tại M có

AD=CB

góc ADN=góc CBM

DO đó: ΔADN=ΔCBM

=>DN=BM và AN=CM

b: Xet tứ giác AMCN có

AN//CM

AN=CM

Do đó: AMCN là hình bình hành

c: Gọi O là giao của AC và BD

=>O là trung điểm của AC

Xet ΔAKC có AN/AK=AO/AC

nên NO//KC

=>KC//BD

Xét ΔBAK có

BN vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔBAK cân tại B

=>BA=BK=DC

Xét tứ giác BDKC có

KC//BD

DC=BK

Do đo; BDKC là hình thang cân