a^2+b^2+c^2+2ab+2cb+2ac-a^2-b^2-c^2-2abc>2

2ab+2ca+bc-2abc>2

sao lại từ phần cần chứng minh nhân ra vậy.

Mà bạn làm mình ko hiểu

a, b, c là độ dài 3 cạnh của tgiác nên ta có: b+c > a => ab+ac > a² 
tương tự: bc+ab > b²; ca+bc > c² 
cộng lại: 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² (*) 

gthiết: 4 = (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² + a²+b²+c² {ad (*)} 
=> 2 > a²+b²+c² (đpcm) 

đúng nha

Do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên dễ dàng suy ra được a,b,c < 1
Từ đó ta có (1-a)(1-b)(1-c)>0
Suy ra: $1-(a+b+c)+ab+bc+ac-abc>0$
$\Rightarrow 2(ab+bc+ac)>2+abc$
$\Rightarrow 2(ab+bc+ac)+{\mathrm{a2}}^{}+{\mathrm{b2}}^{}+{\mathrm{c2}}^{}>{\mathrm{a2}}^{}+{\mathrm{b2}}^{}+{\mathrm{c2}}^{}+2abc+2$
Suy ra ĐCCM?

Ta có:

\(a< b+c\)

\(\Leftrightarrow2a< a+b+c=2\)

\(\Leftrightarrow a< 1\)

Tương tự ta cũng có:

\(\hept{\begin{cases}b< 1\\c< 1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)

\(\Leftrightarrow-abc+ab+bc+ca-a-b-c+1>0\)

\(\Leftrightarrow abc< \left(ab+bc+ca\right)-1\)

\(\Leftrightarrow2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)-2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2+2=4-2=2\)

Áp dụng BĐT tam giác, ta có: 

         \(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a< a+b+c\\2b< a+b+c\\2c< a+b+c\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a< 6\\2b< 6\\2c< 6\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a< 3\\b< 3\\c< 3\end{cases}\Rightarrow}}\hept{\begin{cases}3-a>0\\3-b>0\\3-c>0\end{cases}}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho bộ ba số thực không âm, ta có: 

\(\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\le\left(\frac{3-a+3-b+3-c}{3}\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow27-9\left(a+b+c\right)+3\left(ab+bc+ca\right)-abc\le1\)

\(\Leftrightarrow abc\ge27-9.6+3\left(ab+bc+ca\right)-1\)

\(\Leftrightarrow2abc\ge-56+6\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3.2\left(ab+bc+ca\right)-56\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a+b+c\right)^2-56\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3.36-56=\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge52\)

Dấu \("="\) xảy ra khi  \(a=b=c=2\)

Vậy \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge52\)

Lớp 8 chưa học bất dẳng thức Cauchy nên mik sẽ ko tính vs lại mik làm đc rồi và cảm ơn nha

Lớp 8 mà chưa học Cauchy thì bạn là học sinh đại trà à, thế mà cũng ra vẻ đăng câu hỏi