Giả sử \(y\ge z\Rightarrow\frac{4x}{1+4x}\ge\frac{4y}{1+4y}\Leftrightarrow1-\frac{1}{1+4x}\ge1-\frac{1}{1+4y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+4x}\le\frac{1}{1+4y}\Leftrightarrow1+4x\ge1+4y\Leftrightarrow x\ge y\)

\(\Rightarrow\frac{4z}{1+4z}\ge\frac{4x}{1+4x}\).Tương tự:\(z\ge x\).Nên \(x=y=z\).

Thế vào mà giải nhé

áp dụng bđt \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\),dấu "=" xảy ra <=>a=b

\(\sqrt{\left(4x-1\right).1}\le\frac{1+4x-1}{2}=2x\)

Tương tự \(\sqrt{\left(4y-1\right).1}\le\frac{1+4y-1}{2}=2y;\sqrt{\left(4z-1\right).1}\le\frac{1+4z-1}{2}=2z\)

Cộng theo vế:

=>\(2\left(x+y+z\right)\ge\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}=1\\\sqrt{4y-1}=1\\\sqrt{4z-1}=1\end{cases}}< =>x=y=z=\frac{1}{2}\)
 

Pt đầu chắc là sai đề (chắc chắn), bạn kiểm tra lại

Với pt sau:

Nhận thấy một ẩn bằng 0 thì 2 ẩn còn lại cũng bằng 0, do đó \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm

Với \(x;y;z\ne0\)

Từ pt đầu ta suy ra \(y>0\) , từ đó suy ra \(z>0\) từ pt 2 và hiển nhiên \(x>0\) từ pt 3

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le\dfrac{2x^2}{2x}=x\\z=\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}\le\dfrac{3y^3}{3\sqrt[3]{y^4.y^2.1}}=y\\x=\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}\le\dfrac{4z^4}{4\sqrt[4]{z^6z^4z^2}}=z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)

Ta có

\(\sqrt{4x-1}\le\frac{1+4x-1}{2}=2x\)

\(\sqrt{4y-1}\le2y\)

\(\sqrt{4z-1}\le2z\)

Cộng vế theo vế ta được

\(\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\le2\left(x+y+z\right)\)

Theo đề bài ta có khi cộng pt (1), (2), (3) vế theo vế thì được

\(\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}=2\left(x+y+z\right)\)

Dấu = xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{2}\)