1+1=3

1234567

Theo đề thì:\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{2}{z}=0\)

\(\Leftrightarrow xz+yz-2xy=0\)

Cũng từ \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{2}{z}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{z}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\)

\(\Leftrightarrow z\le\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow z^2\le xy\)

Quay lại bài toán ta có:

\(T=\dfrac{x+z}{2x-z}+\dfrac{z+y}{2y-z}=\dfrac{2z^2-6xy-\left(xz+yz-2xy\right)}{-z^2+2\left(xz+yz-2xy\right)}\)

\(=\dfrac{6xy-2z^2}{z^2}\ge\dfrac{6xy-2xy}{xy}=4\)

Vậy GTNN là T = 4 khi x = y = z = 1

đề bài phải là x,y,z,t nguyên dương. 
Vì nếu cho x=z=1;y=t=0 thì thỏa mãn: x²+y²=z²+t² 
nhưng x+y+z+t = 2 là số nguyên tố. 

với x,y,z,t là số nguyên dương => x+y+z+t >=4 
giả sử x+y+z+t là số nguyên tố 
ta có x+y+z+t >= 4 => x+y+z+t lẽ 
=> trong x,y,z,t có một số lẽ số lẽ ( 1 hoặc 3 số lẽ ) 
* trường hợp 1: có 1 số lẽ, giả sử là x => x²+y² lẽ , còn z²+t² chẳn, vô lý vì chúng bằng nhau 
* trường hợp 2: có 3 số lẽ, 1 số chẳn, giả sử x chẳn. => x²+y² lẽ , còn z²+t² chẳn, vô lý. 
mọi trường hợp đều dẫn kết điều mâu thuẩn , vậy giả thiết phản chứng là sai và bài toán được chứng minh.