CMR với mọi số thực x, y, z thì: (x^2+y^2)^3-(y^2+z^2(^3+(z^2-x^2)^3=3.(x^2+y^2).(y^2+z^2).(x^2-z^2)
CMR: với mọi số thực x, y, z thì: \(\left(x^2+y^2\right)^3-\left(y^2+z^2\right)^3+\left(z^2-x^2\right)^3=3.\left(x^2+y^2\right).\left(y^2+z^2\right).\left(x^2-z^2\right)\)
chứng minh rằng Với mọi sự thực x, y, z thì(x^2+y^2)^3-(y^2+z^2)^3+(z^2-x^2)^3=3.(x^2+y^2).(y^2+z^2).(x^2-z^2)
CMR với mọi số thực x,y,z thì :
(x2+y2)-(y2+z2)+(z2-x2)=3(x2+y2)(y2+z2)(z2-x2)
CMR: với mọi x,y,z thì \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
có \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
=>`x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2>=0`
`<=>2x^2+2y^2+2z^2>=2xy+2yz+2zx`
`<=>x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx`
Cho x, y,z là các số thực dương. CMR x^3/y^2+y^3/z^2+z^3/x^2>=x^2/y+y^2/z+z^2/x
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{z^2}+\dfrac{z^3}{x^2}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\right)^2\)
Cần chứng minh \(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge x+y+z\)
Dễ thấy;\(VT=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=x+y+z\)
BĐT được chứng minh
\("="\Leftrightarrow x=y=z\)
Với mọi số x;y;z:
cmr: x^2+y^2+z^2+3>=2(x+y+z)
Ta có
x2 + y2 + z2 + 3\(\ge\)2(x + y + z)
<=> (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1)\(\ge\)0
<=> (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 \(\ge\)0 (đúng)
=> ĐPCM
Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn x+y+z=3. CMR: x3/(x2+y2)+y3/(y2+z2)+z3/(z2+x2)>=3/2
Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn \(x+y+z \leq 3 \)
CMR: \(\sqrt{\dfrac{z(x^2+y^2)}{x+y}} + \sqrt{\dfrac{x(z^2+y^2)}{z+y}} + \sqrt{\dfrac{y(x^2+z^2)}{x+z}} + 3\sqrt{xyz} \leq \sqrt{2} (\sqrt{z(x+y)} + \sqrt{x(y+z)} + \sqrt{y(x+z)} ) \)
1. Cho các số x, y, z thỏa mãn : (x + y)(y + z)(z + x) = 4. CMR: \(\left(x^2-y^2\right)^3\)+ \(\left(y^2-z^2\right)^3\)+ \(\left(z^2-x^2\right)^3\)= 12 (x - y)(y - z)(z - x)
2. Rút gọn: \(\dfrac{\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3}{\left(x^2-y^2\right)^3+\left(y^2-z^2\right)^3+\left(z^2-x^2\right)^3}\) biết (x + y)(y + z)(z + x) = 1
3. Cho a, b, c ≠ 0 thỏa mãn: a + b + c = \(a^2+b^2+c^2\) = 2. CMR: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{abc}\)
MONG MN GIẢI GIÚP EM Ạ!!! EM ĐANG CẦN GẤP ! CẢM ƠN MN NHIỀU
Hầy mình không nghĩ lớp 7 đã phải làm những bài biến đổi như thế này. Cái này phù hợp với lớp 8-9 hơn.
1.
Đặt $x^2-y^2=a; y^2-z^2=b; z^2-x^2=c$.
Khi đó: $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$
$\text{VT}=a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$
$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$
$=3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)$
$=3(x-y)(x+y)(y-z)(y+z)(z-x)(z+x)$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(x+z)$
$=3.4(x-y)(y-z)(z-x)=12(x-y)(y-z)(z-x)$
Ta có đpcm.
Bài 2:
Áp dụng kết quả của bài 1:
Mẫu:
$(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)=3(x-y)(y-z)(z-x)(1)$
Tử:
Đặt $x-y=a; y-z=b; z-x=c$ thì $a+b+c=0$
$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=a^3+b^3+c^3$
$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra \(\frac{(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3}{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}=1\)
Bài 3:
\(ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{2^2-2}{2}=1\)
Do đó:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}\)
Ta có đpcm.