a) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} < 0\) và \(\lim {u_n} = 0.\) Khi đó \(f\left( {{u_n}} \right) =  - 1\) và \(\lim f\left( {{u_n}} \right) =  - 1.\)

b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) sao cho \({v_n} > 0\) và \(\lim {v_n} = 0.\) Khi đó \(f\left( {{v_n}} \right) = 1\) và \(\lim f\left( {{v_n}} \right) = 1.\)

a) \(f\left(x\right)=2.\left(x^2\right)^n-5.\left(x^n\right)^2+8n^{n-1}.x^{1+n}-4.x^{n^2+1}.x^{2n-n^2-1}\)

\(=2x^{2n}-5x^{2n}+8x^{2x}-4x^{2n}\)

\(=x^{2n}\)

b) \(f\left(x\right)+2020=x^{2n}+2020\)

Vì \(n\in N\Rightarrow2n\in N\)và 2n là số chẵn

\(\Rightarrow x^{2n}\ge1\)

\(\Rightarrow x^{2n}+2020\ge2021\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x^{2n}=1\)

                      \(\Leftrightarrow n=0\)

Vậy ...

( ko bít đúng ko -.- )

Ta có: Với 1=0 thì (1-1).f(1)=(1+2).f(1+3) hay 0=3.f(4) do 3 khác 0 nên f(4)=0 vậy 4 là 1 nghiệm của f(x)

Với x=-2 thì (-2-1).f(-2)=(-2+2).f(-2+3) hay (-3).f(-2)=0 do -3 khác 0 nên f(-2)=0 vậy -2 là 1 nghiệm của f(x)

Với x=4 ta có: (4-1).f(4)=(4+2).f(4+3) suy ra 0=6.f(7) (vì f(4)=0)

do 6 khác 0 nên f(7)=0 hay 7 là 1 nghiệm của f(x)

Với x=7 ta có: (7-1).f(7)=(7+2).f(7+3) suy ra 0=9.f(10) (vì f(7)=0)

do 9 khác 0 nên f(10) bằng 0 hay 10 là 1 nghiệm của f(x)

Với x=10 ta có: (10-1).f(10)=(10+2).f(10+3) suy ra 0=12.f(13) (vì f(10)=0)

do 12 khác 0 nên f(13)=0 hay 13 là 1 nghiệm của f(x)

Vậy 5 nghiệm của f(x) tìm được là: -2;4;7;10;13

Mình xin lỗi: Với x=1 (ở dòng đầu tiên nhé)

Sửa lại sẽ thành: Ta có: Với x=1 thì (1-1).f(1)=(1+2).f(1+3) hay 0=3.f(4) do 3 khác 0 nên f(4)=0 vậy 4 là 1 nghiệm của f(x)

\(f\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x\right)\left(x+1\right)\left(ax-a+b\right)\)

=> \(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(ax+b\right)-\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(ax-a+b\right)=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left[\left(x+2\right)\left(ax+b\right)-\left(x-1\right)\left(ax-a+b\right)\right]=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x

\(\Leftrightarrow ax^2+2ax+bx+2b-ax^2+ax-bx+ax-a+b=2x+1\)mọi x

\(\Leftrightarrow4ax+3b-a=2x+1\)

Cân bằng hệ số :

\(\hept{\begin{cases}4a=2\\3b-a=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

a) Ta có $$\begin{aligned} f(x)-f(x-1) & =x(x+1)(x+2)(ax+b)-(x-1)x(x+1)(ax+b) \\ & = 4ax^3+3(a+b)x^2+(3b-a)x \end{aligned}$$
Và $x(x+1)(2x+1)=2x^3+3x^2+x$
Vậy $$4ax^3+3(a+b)x^2+(3b-a)x = 2x^3+3x^2+x \iff \begin{cases} 4a=2 \\ 3(a+b)=3 \\ 3b-a=1 \end{cases} \implies a=b= \dfrac{1}{2}$$

b) Ta có
$$\begin{array}{l}1.2.3= f(1)-f(0) \\ 2.3.5=f(2)-f(1) \\ 3.4.7= f(3)-f(2) \\ ... \\ n(n+1)(2n+1)=f(n)-f(n-1) \end{array}$$
$$\implies S=1.2.3+2.3.5+.....+n(n+1)(2n+1)= f(n-1)-f(0)= \boxed{\dfrac{(n-1)n(n+1)^2}{2}}$$

\(f\left(n\right)=\dfrac{2n-1+2n+1+\sqrt{\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}\\ f\left(n\right)=\dfrac{\left(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}\right)\left(2n-1+2n+1+\sqrt{\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)}\right)}{2n+1-2n+1}\\ f\left(n\right)=\dfrac{\left(\sqrt{2n+1}\right)^3-\left(\sqrt{2n+1}\right)^3}{2}=\dfrac{\left(2n+1\right)\sqrt{2n+1}-\left(2n-1\right)\sqrt{2n+1}}{2}\)

\(\Leftrightarrow f\left(1\right)+f\left(2\right)+...+f\left(40\right)=\dfrac{3\sqrt{3}-1\sqrt{1}+5\sqrt{5}-3\sqrt{3}+...+81\sqrt{81}-79\sqrt{79}}{2}\\ =\dfrac{81\sqrt{81}-1\sqrt{1}}{2}=\dfrac{9^3-1}{2}=364\)