\(a,\)(Sửa đề: \(\Delta ABD=\Delta EBD\))

Vì \(\begin{cases} AB=BE\\ \widehat{ABD}=\widehat{EBD}\\ BD\text{ chung} \end{cases}\) nên \(\Delta ABD=\Delta EBD(c.g.c)\)

\(\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^0\\ \Rightarrow DE\bot BC\)

\(b,\Delta ABD=\Delta EBD(cmt)\\ \Rightarrow AD=DE\Rightarrow D\in\text{trung trực }AE\\ AB=BE\Rightarrow B\in \text{trung trực }AE\\ \Rightarrow BD\text{ là trung trực }AE\)

\(c,\begin{cases} \widehat{MAD}=\widehat{CED}=90^0\\ AD=DE\\ AM=EC \end{cases}\\\Rightarrow \Delta ADM=\Delta EDC(c.g.c)\\ \Rightarrow MC=MD\)

\(d,\Delta ADM=\Delta EDC(cmt)\\ \Rightarrow \widehat{ADM}=\widehat{EDC}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối đỉnh và \(A,D,C\) thẳng hàng nên \(M,D,E\) thẳng hàng

a) Xét 2 tam giác vuông tam giác ABD và tam giác ACE ta có:

AB = AC (GT)

Góc BAC: chung

=> Tam giác ABD = Tam giác ACE (c.h - g.n)

=> BD = CE (2 cạnh tương ứng)

b) Tam giác ABD = Tam giác ACE (cmt)

=> AD = AE (2 cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông tam giác AEO và tam giác ADO ta có:

AD = AE (cmt)

OA: cạnh chung

=> Tam giác AEO = tam giác ADO (c.h - c.g.v)

=> Góc EAO = Góc DAO (2 góc tương ứng)

=> AO là phân giác của góc EAD

Hay: AO là phân giác của góc BAC

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E co

góc DAB chung

=>ΔADB đồng dạng với ΔAEC

=>AD/AE=AB/AC

=>AD*AC=AB*AE;AD/AB=AE/AC

b: Xét ΔADE và ΔABC có

AD/AB=AE/AC

góc DAE chung

=>ΔADE đồng dạng với ΔABC

=>góc ADE=góc ABC

a: Xét ΔEBC vuông tại E và ΔDCB vuông tại D có

BC chung

\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

Do đó: ΔEBC=ΔDCB

Suy ra: EC=DB

b: Xét ΔOEB vuông tại E và ΔODC vuông tại D có 

EB=DC

\(\widehat{EBO}=\widehat{DCO}\)

Do đó:ΔOEB=ΔODC

c: Ta có: ΔOEB=ΔODC

nên OB=OC

Xét ΔAOB và ΔAOC có

AO chung

OB=OC

AB=AC
Do đó: ΔAOB=ΔAOC

Suy ra: \(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)

hay AO là tia phân giác của góc BAC

Bài 1: 

Vẽ \(IH\) là tia phân giác của \(\widehat{AIC}\)

Xét \(\Delta ABC\) có:

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{C}=180^0-\widehat{B}=180^0-60^0=120^0\)

Ta có: \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat{A}\left(1\right)\)

Và: \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat{C}\left(2\right)\) 

Từ   \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\widehat{IAC}+\widehat{ICA}=\frac{120^0}{2}=60^0\)

Lại có: \(\widehat{EIA}=\widehat{IAC}+\widehat{ICA}=60^0=\widehat{AIH}\)

Xét \(\Delta EAI\) và \(\Delta HAI\) có:

\(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\left(AD-là-tia-p.giác-của\widehat{A}\right)\)

\(\widehat{AIE}=\widehat{AIH}\left(cmt\right)\)

\(AI\) chung

\(\Rightarrow\Delta AIE=\Delta AIH\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow IE=IH\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự \(\Delta CHI=\Delta CDI\left(g-c-g\right)\Rightarrow ID=IH\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow IE=ID\)

\(\Rightarrow\Delta IDE\) cân tại \(I\left(đpcm\right)\)

2.

Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BD => \(\Delta\)DBE cân tại B (1)

=> BD = BE 

Ta có: BD là phân giác ^ABC  => ^DBE = 40\(^{^o}\): 2 = 20\(^o\)(2)

(1) ; (2) => ^BDE = ^DED = ( 180\(^o\)- 20\(^o\)) : 2 = 80\(^o\)

=> ^DEC = 180\(^o\)- 80\(^o\)=100\(^o\)

Xét \(\Delta\)DEC có: ^EDC = 180\(^o\)- ^DEC - ^DCE = 180\(^o\)-100\(^o\)-40\(^o\)=40\(^o\)

=> \(\Delta\)DEC cân tại E => DE = EC (3)

Từ D kẻ vuông góc với BC tại H và BA tại K.

D thuộc đường phân giác ^ABC  ( theo t/c đường phân giác ) => DK = DH 

Vì ^BAC = ^DEC = 100\(^o\)=> ^KAD = ^HED 

=> \(\Delta\)KAD = \(\Delta\)HED ( cạnh góc vuông - góc nhọn )

=> DA = DE (4)

Từ (3) ; (4) => DA = EC 

Vậy BC = BE + EC = BD + AD

Bài 3: 

a: Xét ΔAIB và ΔCID có

IA=IC

góc AIB=góc CID

IB=ID

Do đó: ΔAIB=ΔCID

b: Xét tứ giác ABCD có

I là trung điểm chung của AC và BD

nên ABCD là hình bình hành

Suy ra: AD//BC va AD=BC

Bài 6: 

a: Xét ΔADB và ΔAEC có

AD=AE
góc A chung

AB=AC

Do đó: ΔADB=ΔAEC
SUy ra: BD=CE
b: Xét ΔEBC và ΔDCB có

EB=DC

BC chung

EC=BD

Do đó: ΔEBC=ΔDCB

Suy ra: góc OBC=góc OCB

=>ΔOBC cân tại O

=>OB=OC

=>OE=OD

=>ΔOED cân tại O

c: Xét ΔABC có AE/AB=AD/AC
nên ED//BC