a: Xét (O) có

CM là tiếp tuyến

CA là tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là tia phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là tia phân giác của góc MOB(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{COD}=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)

Ta có: MC+MD=CD

nên CD=CA+DB

b: Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(CM\cdot DM=OM^2=R^2\)

hay \(AC\cdot BD=R^2\)

a: Xét tứ giác ABDC có

AC//BD

góc CAB=90 độ

Do đó: ABDC là hình thang vuông

b: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

c: Xét (O) có

CA,CM là tiêp tuyến

nên CA=CM

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB

CM+MD=CD

=>AC+BD=CD

a) Ta có: CD là tiếp tuyến của (O) tại M (gt)

=> CM \(\perp\)MO => \(\widehat{CMO}=90^o\)

AC là tiếp tuyến của (O) tại A (gt)

=> \(AC\perp AO\Rightarrow\widehat{CAO}=90^o\)

Xét tứ giác OACM có: \(\widehat{CMO}+\widehat{CAO}=90^o+90^o=180^o\)

=> OACM nội tiếp (1)

Chứng minh Tương tự : OBDM nội tiếp (2)

b) M thuộc (O), AB là đường kính

=> \(\widehat{EMF}=\widehat{AMB}=90^o\)( góc chắn nửa đường tròn) (3)

Ta có: \(CO\perp AM\)( tự chứng minh bài toán quen thuộc )

=> \(\widehat{OEM}=90^o\)(4)

Tương tự \(\widehat{OFM}=90^o\)(5)

Từ 3, 4, 5 => Tứ giác OEFM là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông ) (6)

c) Ta có:  \(\widehat{IOK}=\widehat{EOF}=90^o\)( theo 6)

Mặt khác: I là trung điểm OC, tam giác CMO vuông tại M 

=> CM=IC=IO=> tam giác CIM cân => \(\widehat{IMC}=\widehat{MCI}\)

mà \(\widehat{MCI}=\widehat{MCO}=\widehat{MAO}\)( từ 1)

=> \(\widehat{IMC}=\widehat{MAO}\), chứng minh tương tự  \(\widehat{KMD}=\widehat{MBO}\)

=> \(\widehat{IMC}+\widehat{KMD}=\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^o\)Vì tam giác AMB vuông tại M

=> \(\widehat{IMK}=90^o\)

Xét tứ giác OIMK có: \(\widehat{IMK}+\widehat{IOK}=180^o\)

=> OIMK nội tiếp

d) IK là đường trung bình của tam giác COD =>IK=1/2CD và OH=1/2 OM (Với H là giao điểm OM và IK=> OH vuông IF)

=>  \(S_{\Delta IOK}=\frac{1}{4}S_{\Delta OCD}\)

Tam giác IKM= tam giác IKO (c.c.c)

=> \(S_{\Delta IOK}=S_{\Delta IMK}\)

=> \(S_{IMKO}=S_{\Delta IOK}+S_{\Delta IMK}=\frac{1}{2}S_{\Delta COD}\)

Ta lại có: tam giác COM= tam giác  COA , tam giác MOD=tam giác BOD

=> \(S_{COD}=S_{\Delta COM}+S_{\Delta MOD}=\frac{1}{2}S_{CAMO}+\frac{1}{2}S_{MDBO}=\frac{1}{2}S_{ACDB}\)

=> \(S_{IMKO}=\frac{1}{4}S_{ACDB}=\frac{1}{4}.\frac{1}{2}\left(AC+DB\right).AB\)=10 (cm)vì ACDB là hình thang vuông với đáy AC, DB và đường cao AB