Đáp án là B

Đáp án A

Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Ta có S A ⊥ A B C D ⇒ S A ⊥ B D . Lại có A C ⊥ B D  (tính chất hình vuông).

Suy ra B D ⊥ S A C . Do đó hình chiếu của SB trên (SAC) là SI. Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) là góc giữa SB và SI, tức là góc ISB (do tam giác ISB vuông tại I nên I S B ^  là góc nhọn). Ta có:

S B = S A 2 + A B 2 = a 2 + a 2 = a 2 , I B = B D 2 = A 2 2

D o   đ ó   sin I S B = I B S B = 1 2 ⇒ I S B = 30 °

Đáp án A.

Cách 1: Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Ta có S A ⊥ A B C D ⇒ S A ⊥ B D . Lại có A C ⊥ B D  (tính chất hình vuông).

Suy ra  B D ⊥ S A C   . Do đó hình chiếu của SB trên   S A C là SI. Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng S A C  là góc giữa SB và SI, tức là góc  I S B ^    (do tam giác ISB vuông tại I nên  I S B ^    là góc nhọn). Ta có:

S B = S A 2 + A B 2 = a 2 + a 2 = a 2 , I B = B D 2 = a 2 2

Do đó

sin I S B ^ = I B S B = 1 2 ⇒ I S B ^ = 30 °

Cách 2: (Phương pháp tọa độ hóa) Không mất tổng quát, gán tọa độ như sau:

A 0 ; 0 ; 0 , B 1 ; 0 ; 0 , D 0 ; 1 ; 0 , S 0 ; 0 ; 1 Khi đó C 1 ; 1 ; 0 .

Ta có S A → = 0 ; 0 ; − 1 , S C → = 1 ; 1 ; − 1 , S B → = 1 ; 0 ; − 1  

Đặt  n → = S A → , S C → = 1 ; − 1 ; 0 . Khi đó n →  là một VTPT của S A C .

Gọi   α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng S A C , β  là góc giữa vecto n →  và vecto S B → . Ta có

sin α = cos β = n → . S B → n → . S B → = 1 2 . 2 = 1 2 ⇒ α = 30 °  

a/ Ta có: \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)

Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình thoi)

\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

c/ Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)

\(\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC=a\)

\(tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}=60^0\)

a) A là hình chiếu của S trên (ABCD) \(\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\)

C là hình chiếu của C trên (ABCD)

\( \Rightarrow \) AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)

\( \Rightarrow \) \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\)

Xét tam giác ABC vuông tại B có

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)

Xét tam giác SAC vuông tại A có

\(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^0}\)

Vậy \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = {45^0}\)

b) \(\left. \begin{array}{l}AC \bot BD\left( {hv\,\,ABCD} \right)\\SA \bot BD\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AC \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {BD,\left( {SAC} \right)} \right) = {90^0}\)

c) Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\) mà \(BD \bot \left( {SAC} \right)\)

\( \Rightarrow \) O là hình chiếu của B trên (SAC)

S là hình chiếu của S trên (SAC)

\( \Rightarrow \) SO là hình chiếu của SB trên (SAC).

Chọn A

Đáp án D