A=\(\frac{x+y-y}{x+y}+\frac{y+z-z}{y+z}+\frac{z+x-x}{x+z}\)

A=\(3-\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)\)

Mà :\(\frac{x}{x+z}>\frac{x}{x+y+z};\frac{x}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\)

=> A < 2                                        (1)

Mặt khác A=\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}\)

Mà \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z};\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\)

=>A > 1                                       (2)

Từ (1) và (2)=> 1 < A < 2 <=> A không phải là số nguyên

ta có : \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\left(1\right)\);  \(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{y+z+z}\left(2\right)\); \(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{z+x+y}\left(3\right).\)

cộng vế với vế các BĐT (1), (2), (3) ta được: 

          \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x+y+z}{x+y+z}=1.\)(đpcm )

cái (2) gõ nhầm phím . nhé \(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{y+z+x}\)

TA CÓ :\(\frac{X}{X+Y}\)>\(\frac{X}{X+Y+Z}\)(1)  ;  \(\frac{Y}{Y+Z}\)>\(\frac{Y}{X+Y+Z}\)(2)  ;  \(\frac{Z}{Z+X}\)>\(\frac{Z}{X+Y+Z}\)(3)

CỘNG (1) , (2) ,(3) vế theo vế ,ta có; \(\frac{X}{X+Y}\)+ \(\frac{Y}{Y+Z}\)+\(\frac{Z}{Z+X}\)>  \(\frac{X+Y+Z}{X+Y+Z}\)= 1 (đpcm)

Vì x,y,z là các số nguyên dương nên ta có:

\(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z};\frac{y}{y+z}>\frac{y}{y+z+x};\frac{z}{z+x}>\frac{z}{z+x+y}\)

\(\Rightarrow A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+x}+\frac{z}{z+x+y}\)

mà \(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+x}+\frac{z}{z+x+y}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

=> A>1

>1 thôi nha , mình đánh nhầm đó 

Ta có x+y=z+t 

=>y=z+t-x

=>x(z+t-x)=zt-1

=>xz+xt-x²=zt-1

=>x(z-x)=zt-xt-1

=>x(z-x)=t(z-x)-1

=>t(z-x)-x(z-x)=1

=>(t-x)(z-x)=1

TH1:

t-x=z-x=1(x;y;z;t E N sao)

=>z=t(vì =x+1)(đpcm)

TH2:

t-x=z-x=-1(vì x;y;z;t E N sao)

=>z=t(vì =x-1)(đpcm)

Vậy z=t

cho xin cảm ơn

Vì x,y,z là các số dương nên : \(\frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}\) ; \(\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}\) ; \(\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow A< \frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\) (1)

Mặt khác ta lại có : \(x+y< x+y+z\Rightarrow\)\(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)

Tương tự : \(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow A>\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra : \(1< A< 2\) => A không có giá trị nguyên

\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)

\(A>\frac{x+y+z}{x+y+z}\)

\(A>1\left(1\right)\)

Áp dụng \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) (a,b,m \(\in\) N*) ta có:

\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{z+y}{x+y+z}\)

\(A< \frac{2.\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)

\(A< 2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => 1 < A < 2

=> A không là số nguyên (đpcm)

Ta có :

\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\)

\(\Rightarrow A=\frac{x+y-y}{x+y}+\frac{y+z-z}{y+z}+\frac{z+x-x}{z+x}\)

\(\Rightarrow A=1-\frac{y}{x+y}+1-\frac{z}{y+z}+1-\frac{x}{z+x}\)

\(\Rightarrow A=3-\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}\right)\)

Mặt khác vì A nguyên dương

\(\Rightarrow\begin{cases}\frac{x}{x+z}>\frac{x}{x+y+z}\\\frac{y}{y+x}>\frac{y}{x+y+z}\\\frac{z}{z+y}>\frac{z}{x+y+z}\end{cases}\)\(\Rightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}>1\) 

\(\Rightarrow-\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}\right)< -1\)

\(\Rightarrow3-\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}\right)< 2\left(1\right)\) 

Mà \(\begin{cases}\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\\\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\\\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\end{cases}\)\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow1< A< 2\)

=> A không phải là số nguyên