Chọn D

Tổng khoảng cách từ O đến hai tiếp tuyến bằng

Bán kính đường tròn: \(R=\sqrt{10}\)

\(O=\left(2;0\right)\) là tâm đường tròn

\(\Rightarrow OM=\sqrt{\left(1-2\right)^2+\left(-2-0\right)^2}=\sqrt{5}< R=\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow M\) nằm trong đường tròn

Kết luận: Số tiếp tuyến kẻ được từ M đến đường tròn (C) là 0.

Đường tròn \(\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=25\) có tâm \(I\left(1;1\right)\) và bán kính \(R=5\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(6;8\right)\Rightarrow IA=10=2R\)=> Đường tròn (C) chia đôi IA tại C

Gọi D là trung điểm IC, ta có: \(\frac{ID}{IM}=\frac{1}{2}=\frac{IM}{IA}\)=> \(\Delta\)IDM ~ \(\Delta\)IMA (c.g.c), từ đây MA=2MD

Suy ra \(P=2\left(MD+MB\right)\ge2BD\)(không đổi)

Dấu "=" xảy ra khi M thuộc đoạn BD hay M là giao điểm của đoạn BD với (C) 

*) Tìm M:

Ta có: C là trung điểm IA => \(C\left(4;5\right)\), D là trung điểm IC => \(D\left(\frac{5}{2};3\right)\)

\(\overrightarrow{BD}=\left(\frac{5}{2};-5\right)\Rightarrow BD:\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{2}t\\y=8-5t\end{cases}}\); vì M thuộc BD nên \(M\left(\frac{5}{2}t;8-5t\right)\)

\(\overrightarrow{IM}=\left(\frac{5}{2}t-1;7-5t\right)\Rightarrow IM^2=\left(\frac{5}{2}t-1\right)^2+\left(7-5t\right)^2=R^2=25\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=2\\t=\frac{2}{5}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}M\left(5;-2\right)\\M\left(1;6\right)\end{cases}}\)

Nếu \(M\left(5;-2\right)\)thì \(\overrightarrow{MB}=\left(-5;10\right);\overrightarrow{MD}=\left(-\frac{5}{2};5\right)\Rightarrow\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MD}\)=> M nằm ngoài đoạn BD (L)

Vậy \(M\left(1;6\right)\).

Gọi \(I\) là tâm nằm trên đường trung trực \(OA\)

 \(\Rightarrow IA=d\left(I,d\right)\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_0+1\right)^2+x^2_0}=\dfrac{\left|-x_0+x_0+1-1\right|}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=-1\end{matrix}\right.\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\Rightarrow r=1\\x_0=-1\Rightarrow r=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+\left(y-1\right)^2=1\\\left(x+1\right)^2+y^2=1\end{matrix}\right.\)

Đường tròn (C) tâm \(O\left(2;3\right)\) bán kính \(R=10\)

Gọi I là trung điểm AB \(\Rightarrow IO\perp AB\) 

\(\Rightarrow IO=d\left(O;AB\right)=\dfrac{\left|3.2-4.3+1\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=1\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(IA=\sqrt{OA^2-OA^2}=\sqrt{100-1}=3\sqrt{11}\)

\(\Rightarrow AB=2IA=6\sqrt{11}\)