Giả sử có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh AB, AC, AD, BC, CD, BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M, N, P, Q, R, S. Khi đó AM, AN, AP là các tiếp tuyến cùng xuất phát từ A nên AM = AN = AP.

Lập luận tương tự ta có: BM = BQ = BS; CQ = CR = CN; DR = DS = DP

Vậy AB + CD = AM + MB + CR + RD = AN + BS + CN + DS = AN + NC + BS + SD = AC + BD

Bằng lí luận tương tự ta chứng minh được AB + CD = AC + BD = AD + BC

20 cm = 0,2 m

Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều là:

\(\dfrac12\cdot(4\cdot25)\cdot0,2+25^2=635(m^2)\)

Vậy: ...

\(\text{#}Toru\)

Chọn B.

Nếu có một mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ thì đáy của lăng trụ phải nội tiếp trong một đường tròn, điều này không đúng cho tứ giác lồi bất kì.

Sxq=1/2*24*4*20=12*80=960m²

Stp=960+25^2=1585m²

Đáp án A.

Có tất cả 15 điểm được tô màu gồm 4 đỉnh của tứ diện, 6 trung điểm của 6 cạnh, 4 trọng tâm của 4 mặt bên và 1 trọng tâm của tứ diện.

Không gian mẫu là “Chọn ngẫu nhiên 4 trong số 15 điểm đã tô màu”. Số phần tử của không gian mẫu là  n Ω = C 15 4   .

Gọi A là biến cố “4 điểm được chọn đồng phẳng”. Suy ra  là biến cố “4 điểm được chọn là 4 đỉnh của một hình tứ diện”. Để xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A ta xét các trường hợp sau:

a. 4 điểm cùng thuộc “một mặt bên của tứ diện”

Một mặt bên có 7 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên một mặt bên là C 7 4  (cách).

Có tất cả 4 mặt bên nên số cách chọn thỏa mãn trường hợp a. là 4. C 7 4  (cách).

b. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 1 cạnh của tứ diện và trung điểm của cạnh đối diện:.

Mặt phẳng đó có 7 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên mỗi mặt là C 7 4  (cách).

Hình tứ diện có 6 cạnh nên có tất cả 6 mặt như thế. Số cách chọn 4 điểm thỏa mãn trường hợp b. là 6 C 7 4  (cách).

c. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 1 đỉnh và đường trung bình của tam giác đối diện đỉnh đó”.

Mặt phẳng đó có 5 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên mỗi mặt là C 5 4  (cách).

Do mỗi mặt bên là một tam giác có 3 đường trung bình, nên mỗi đỉnh có tương ứng 3 mặt phẳng như thế (chứa đỉnh và đường trung bình). Mà tứ diện có 4 đỉnh nên có tất cả   3.4 = 12 mặt phẳng ở trường hợp c.

Vậy số cách chọn thỏa mãn trường hợp c. là   12 C 5 4 (cách).

d. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 2 đường nối 2 trung điểm của các cạnh đối diện”.

Có 3 đường nối 2 trung điểm của các cạnh đối diện. Số mặt phẳng được tạo thành từ 2 trong 3 đường đó là   C 3 2 (mặt phẳng).

Mỗi mặt phẳng như thế có 5 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) là   C 5 4 (cách).

Vậy số cách chọn thỏa mãn trường hợp d. là C 3 2 . C 5 4   (cách).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là  n A = 4 C 7 4 + 6 C 7 4 + 12 C 5 4 + C 3 2 . C 5 4 = 425   .

Vậy xác suất cần tính là

P A ¯ = 1 − P A = 1 − n A n Ω = 1 − 425 C 15 4 = 188 173

Gọi mặt cầu S(O; R) tiếp xúc với các cạnh của hình tứ diện đã cho lần lượt tại M, N, P, Q ,R và S.

* Ta chứng minh: AM = AR = AQ.

Do mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh AB, AC và AD lần lượt tại M; R và Q nên :

Xét ba tam giác OAM; OAR và OAQ có:

* Chứng minh tương tự ta có:

BM = BN = BS = b

CP = CN = CR = c.

DP = DQ = DS = d

Ta có:

Do đó, AB + CD = AC + BD = AD + BC.

Phương pháp:

Sử dụng lý thuyết khối đa diện để làm bài toán.

Cách giải:

Khối đa diện được tạo từ 6 đỉnh là 6 trung điểm của các cạnh của tứ diện đều là khối bát diện đều có 6 đỉnh, 12 cạnh và 8 mặt.

Khối bát diện đều là khối đa diện có 9 mặt đối xứng.

Chọn: D

∠ BAC = 120 ° và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 120 °  và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b.

Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có: OS = OA = OB = OC và

Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính

∠ BAC = 60 °  và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có OS = OA = OB = OC và r 2 = OA 2 = OI 2 + IA 2

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có

Vậy