\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}\left(x< >2\right)\\mx+2023\left(x=2\right)\end{matrix}\right.\)

Để hàm số liên tục tại x=2 thì \(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=F\left(2\right)\)

=>\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x+7-9}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+7}+3\right)}=2m+2023\)

=>\(2m+2023=\dfrac{1}{\sqrt{2+7}+3}=\dfrac{1}{6}\)

=>m=-12137/12

\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+m}{x^2+mx}=1\Rightarrow y=1\) là 1 tiệm cận ngang

Hàm có 3 tiệm cận khi \(x^2+mx=0\) có 2 nghiệm pb và khác nghiệm của \(x^2+m=0\)

\(x^2+mx=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-m\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow m\ne0\) thay vào \(x^2+m\Rightarrow m^2+m\ne0\Rightarrow m\ne\left\{0;-1\right\}\)

Vậy \(m\ne\left\{0;-1\right\}\)

\(y'=3x^2-2mx+2\left(m+1\right)\)

\(y''=6x-2m\)

Hàm đạt cực tiểu tại \(x=-1\) khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(-1\right)=0\\y''\left(-1\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3+2m+2\left(m+1\right)=0\\-6-2m>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-\dfrac{5}{4}\\m< -3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

a: \(y=-\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+4x+2021m\)

=>\(y'=-\dfrac{1}{3}\cdot3x^2-m\cdot2x+4\)

=>\(y'=-x^2-2m\cdot x+4\)

Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(-2m\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot4< =0\\-1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(4m^2+16< =0\)

mà \(4m^2+16>=16>0\forall m\)

nên \(m\in\varnothing\)

b: \(y=-\dfrac{1}{3}\cdot x^3-\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot x^2+x+20\)

=>\(y'=-\dfrac{1}{3}\cdot3x^2-\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot2x+1\)

=>\(y'=-x^2-m\cdot x+1\)

Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(-m\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot1< =0\\-1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(m^2+4< =0\)

mà \(m^2+4>=4>0\forall m\)

nên \(m\in\varnothing\)

Hai đồ thị song song khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2m+3=m\\4\ne5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=-3\)