c: Xét (O) có 

ΔABC nội tiếp đường tròn

AB là đường kính

Do đó:ΔABC vuông tại C

Xét ΔOMA vuông tại A có AC là đường cao

nên \(MB\cdot MC=MA^2\left(1\right)\)

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MB\cdot MC=MH\cdot MO\)

c: Xét (O) có 

ΔABC nội tiếp đường tròn

AB là đường kính

Do đó:ΔABC vuông tại C

Xét ΔOMA vuông tại A có AC là đường cao

nên 

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên 

Từ (1) và (2) suy ra 

a: Xét (O) có 

MA là tiếp tuyến

MB là tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

hay M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

nên O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB

hay OM⊥AB

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

b: Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HO\cdot HM=HA^2\)

=>\(HO\cdot HM=\left(\dfrac{1}{2}AB\right)^2=\dfrac{1}{4}AB^2\)

c: Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2=OD^2\left(3\right)\)

Xét ΔOIM vuông tại I và ΔOHE vuông tại H có

\(\widehat{HOE}\) chung

Do đó: ΔOIM đồng dạng với ΔOHE

=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{OE}\)

=>\(OI\cdot OE=OH\cdot OM\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(OI\cdot OE=OD^2\)

=>\(\dfrac{OI}{OD}=\dfrac{OD}{OE}\)

Xét ΔOID và ΔODE có

\(\dfrac{OI}{OD}=\dfrac{OD}{OE}\)

\(\widehat{DOE}\) chung

DO đó: ΔOID đồng dạng với ΔODE
=>\(\widehat{OID}=\widehat{ODE}=90^0\)

=>ED là tiếp tuyến của (O)

a/

Xét tg vuông AMO và tg vuông BMO có

MA=MB (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn)

OA=OB=R

=> tg AMO = tg BMO (2 tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMO}\)

Xét tg MAB có

MA=MB (cmt) => tg MAB cân tại M

\(\widehat{AMO}=\widehat{BMO}\) (cmt)

\(\Rightarrow OM\perp AB\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Xét tg vuông AMO có

\(AM^2=MO.MH\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giưa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

b/

Ta có \(\widehat{ADC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) => tg ACD vuông tại D \(\Rightarrow AD\perp MC\)

Xét tg vuông AMC có

\(AM^2=MD.MC\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giưa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Ta có

\(AM^2=MO.MH\) (cmt)

\(\Rightarrow MH.MO=MD.MC\)

c/ Xét tg AMK có

\(OM\perp AB\left(cmt\right)\Rightarrow OH\perp AK\)

\(AD\perp MC\left(cmt\right)\Rightarrow AD\perp MK\)

\(\Rightarrow KI\perp AB\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

Phần còn lại không biết điểm E là điểm nào?

a: Ta có: ΔOBM cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BM và OH là phân giác của góc MOB

Xét ΔOBN và ΔOMN có

OB=OM

\(\widehat{BON}=\widehat{MON}\)

ON chung

Do đó: ΔOBN=ΔOMN

=>\(\widehat{OBN}=\widehat{OMN}=90^0\)

=>NM là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

Xét (O) có

\(\widehat{MAB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB

\(\widehat{MBN}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BN và dây cung BM

Do đó: \(\widehat{MAB}=\widehat{MBN}\)

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{HBN}\)

Xét ΔMAB vuông tại M và ΔHBN vuông tại H có

\(\widehat{MAB}=\widehat{HBN}\left(cmt\right)\)

Do đó: ΔMAB đồng dạng với ΔHBN

Xét (O) có

OC là bán kính

FC\(\perp\)CO tại C

Do đó: FC là tiếp tuyến của (O)

Xét (O) có

FC,FA là các tiếp tuyến

Do đó: FC=FA và OF là phân giác của góc AOC

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB và OM là phân giác của góc AOB

Ta có: OF là phân giác của góc AOC

=>\(\widehat{AOC}=2\cdot\widehat{AOF}\)

Ta có: OM là phân giác của góc AOB

=>\(\widehat{AOB}=2\cdot\widehat{AOM}\)

Ta có: \(\widehat{AOB}+\widehat{AOC}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{AOF}+\widehat{AOM}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{FOM}=180^0\)

=>\(\widehat{FOM}=90^0\)

Xét ΔFOM vuông tại O có OA là đường cao

nên \(AF\cdot AM=OA^2\)

mà AF=CF và BM=MA

nên \(CF\cdot MB=OA^2=R^2\)