Đáp án đúng : C

Chọn D.

Phương pháp:

Gọi M;N lần lượt là hình chiếu của A,B trên đáy còn lại không chứa A,B.

Từ đó ta sử dụng định lý Pytago để tìm cạnh của hình vuông

Sử dụng công thức: Diện tích hình vuông cạnh x bằng x²  .

Cách giải:

Xét hình trụ như trên. Gọi cạnh hình vuông ABCD là x ( x > 0)

Gọi M;N lần lượt là hình chiếu của A,B trên đáy còn lại không chứa A,B.

Vì AB / /DC; AB = DC => AB / /MN / /DC; AB = MN = DC hay MNDC là

hình bình hành tâm O’.

Lại có MD = NC = 2a nên MNDC là hình chữ nhật.

Suy ra

Đáp án A.

O là tâm của hình chóp. Kẻ OH ⊥ AB => H là trung điểm AB và SH ⊥ AB.

Ta có  S H O ^   =   π 4 , tam giác SHO vuông cân => SH = 

Ta có sđ 

Hạ đường sinh AA₁ vuông góc với đáy chứa cạnh CD. Khi đó góc ADA₁ là góc giữa hai mặt phẳng hình vuông và mặt đáy.

Vì góc A₁DC = 1v nên A₁C là đường kính.

Gọi cạnh hình vuông là a.

Ta có

a² = AD² = AA₁² + A₁D²

mà AA₁ = h = r, nên ta có:

A₁D² + DC² = A₁C²;

a² – r² + a² = 4r²;

⇒a2=52r2

Gọi  C C 1 và  D D 1 là hai đường sinh của khối trụ

Khi đó  D 1 C 1 / / = D C (1)

Đông thời ABCD là hình vuông nên AB//=DC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB//= D 1 C 1

Vậy  A B C 1 D 1 nội tiếp đường tròn (O) nên  A B C 1 D 1 là hình chữ nhật. Suy ra  A C 1 là đường kính của (O)

Nghĩa là  A C 1 = 2 r

Tam giác  A B C 1 vuông ở B nên:

(3)

Tam giác  B C C 1 vuông ở  C 1 nên:

(4)

Từ (3) và (4) suy ra 

Vậy diện tích hình vuông ABCD là  S = A B 2 = 5 r 2 2

* Gọi  α là góc hợp bởi mp(ABCD) và mặt phẳng đáy của hình trụ, ta có:

Với 

Mà  A B C 1 D 1 là hình chiếu của ABCD trên mặt đáy hình trụ nên:

S ' = S . cos α

Hạ \(OH\perp AB\) tại H. Theo đề bài, ta thấy ngay \(\widehat{OAH}=30^o\). Lại có \(OA=\dfrac{OH}{\sin OAH}=\dfrac{\dfrac{10a}{3}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{20a}{3}\)  

Mặt khác, \(AH=OA.\cos OAH=\dfrac{20a}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{10a\sqrt{3}}{3}\). Từ đó suy ra \(AB=2AH=2.\dfrac{10a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{20a\sqrt{3}}{3}\)

Do ABCD là hình vuông nên \(AB=BC=\dfrac{20a\sqrt{3}}{3}\)

Vậy thể tích hình trụ đã cho là \(V_{trụ}=\pi.OA^2.BC=\pi.\left(\dfrac{20a}{3}\right)^2.\dfrac{20a\sqrt{3}}{3}\) \(=\dfrac{8000\sqrt{3}}{27}.\pi.a^3\) (đvdt)

Đáp án đúng : C