Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A'C=a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD') tính theo a là
Cho hình hộp đứng 'ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A ' C = a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng B C D ’ tính theo a là
A. h = a 3 12
B. h = a 6 6
C. h = a 6 2
D. h = a 3 2
Đáp án B
Tam giác A’AC vuông cân ⇒ A A ' = A C = A ' C 2 = a 2
Đáy ABCD là hình vuông nên A B = A D = A C 2 = a 2
Dựng D H ⊥ D ' C , lại có
B C ⊥ D C B C ⊥ D D ' ⇒ B C ⊥ D H S u y ra DH ⊥ B D ' C ⇒ d = D H = D C . D D ' C D 2 + D D ' 2 = a 6 6
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông. Tam giác A'AC vuông cân A'C=a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB'C' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD') theo a.
Tam giác A'AC vuông cân tai A và A'C=a nên A'A=AC=\(\frac{a}{\sqrt{2}}\)
Do đó : \(AB=B'C'=\frac{a}{2}\)
\(V_{ABB'C}=\frac{1}{3}B'C'.S_{\Delta ABB'}=\frac{1}{6}B'C'.AB.BB'=\frac{a^3\sqrt{2}}{48}\)
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác A'AB. Ta có
\(\begin{cases}AH\perp A'B\\AB\perp BC\end{cases}\)\(\Rightarrow AH\perp\left(A'BC\right)\)
Nghĩa là \(AH\perp\left(BCD'\right)\Rightarrow AH=d\left(A,\left(BCD'\right)\right)\)
Ta có :
\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AA'^2}\)
Do đó \(d\left(a,\left(BCD'\right)\right)=AH=\frac{a\sqrt{6}}{6}\)
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BCD’) bằng a 3 2 . Tính thể tích hình hộp theo a.
A. a 3
B. a 3 21 7
C. a 3 3
D. a 3 3 3
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA' = 2a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C', I là giao điểm của AM và A'C. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
A. 2 5 a 5 .
B. 5 a 5 .
C. 2 3 a 5 .
D. 3 a 5 .
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B
AB=a, AA'=2a, A'C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn A'C'; I là giao điểm của AM và A'C.
Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)
Từ I dựng IH AC IH // AA'
lại có AA' (ABC) nên HI (ABC) .
AC//A'B' CI/AI=AC/A'M=1/2
do đó IH/AA'=1/3
V(IABC)=1/3.IH.S(ABC)=1/3.2/3AA'.S(ABC)=2/9V(ABCA'B'C')=2/9.2a.1/2.a.2a=4/9a^3
BC AB và BC AA' BC A'B
A'B==a
=arctan(A'B/BC)
IC/IA'=2/3 IC=2a
S(IBC)=BC.CI.1/2.sin(arctan(A'B/BC))
Từ đó d(A,IBC)=3.V(IBCA)/S(IBC)
Hạ \(IH\perp AC,\left(H\in AC\right)\Rightarrow IH\perp\left(ABC\right)\)
IH là đường cao của tứ diện IABC
Suy ra IH//AA' \(\Rightarrow\frac{IH}{AA'}=\frac{CI}{CA'}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow IH=\frac{2}{3}AA'=\frac{4a}{3}\)
\(AC=\sqrt{A'C-A'A^2}=a\sqrt{5;}BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=2a\)
Diện tích tam gia ABC : \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC=a^2\)
Vậy thể tích của khối tứ diện IABC : \(V=\frac{1}{3}IH.S_{\Delta ABC}=\frac{4a^3}{9}\)
Hạ \(AK\perp A'B\left(K\in A'B\right)\)
Vì \(BC\perp\left(ABB'A\right)\) nên \(AK\perp BC\) suy ra \(AK\perp\left(IBC\right)\)
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng )IBC) là AK
\(AK=\frac{2S_{\Delta AA'B}}{A'B}=\frac{AA'.AB}{\sqrt{AA'^2+AB^2}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B
AB=a, AA'=2a, A'C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn A'C'; I là giao điểm của AM và A'C.
Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông BCD cạnh a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tam giác SAB đều, M là trung điểm của SA. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD).
A. a 21 14
B. a 21 7
C. a 3 14
D. a 3 7
Đáp án A
Gọi I, E lần lượt là trung điểm của AB và CD
Vì S M S A = 1 2 ⇒ d M ; S C D = 1 2 d A ; S C A = 1 2 d I ; S C A
= 1 2 I H , trong đó H là hình chiếu của I lên SE
Ta có 1 I H 2 = 1 I S 2 + 1 I E 2 = 1 a 2 − a 2 2 + 1 a 2 = 7 3 a 2
⇒ I H = a 21 7 ⇒ d M ; S C D = 1 2 . a 21 7 = a 21 14
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA'= 2a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C', I là giao điểm của AM và AC'. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
A . 2 5 a 5
B . 5 a 5
C . 2 3 a 5
D . 3 a 5
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(A'BCD') bằng a 3 2 . Tính thể tích hình hộp theo a.
A. V = a 3 3 3
B. V = a 3 3
C. V = a 3 21 7
D. V = a 3