Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng 0 ; + ∞ . Biết f(1) = 1 và f(x) = xf'(x) + ln (x). Giá trị f(e) bằng
A. e
B. 1
C. 2
D. 1 e
Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
a) \(y = 2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2}\)
b) \(y = \frac{2}{{3 - x}}\)
c) \(y = \sin 2x\cos x\)
d) \(y = {e^{ - 2x + 3}}\)
e) \(y = \ln (x + 1)\)
f) \(y = \ln ({e^x} + 1)\)
\(a,y'=8x^3-9x^2+10x\\ \Rightarrow y''=24x^2-18x+10\\ b,y'=\dfrac{2}{\left(3-x\right)^2}\\ \Rightarrow y''=\dfrac{4}{\left(3-x\right)^3}\)
\(c,y'=2cos2xcosx-sin2xsinx\\ \Rightarrow y''=-5sin\left(2x\right)cos\left(x\right)-4cos\left(2x\right)sin\left(x\right)\\ d,y'=-2e^{-2x+3}\\ \Rightarrow y''=4e^{-2x+3}\)
e,
\(y = \ln (x + 1) \Rightarrow y' = \frac{1}{{x + 1}} \Rightarrow y'' = - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
f,
\(y = \ln ({e^x} + 1) \Rightarrow y' = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}} \Rightarrow y'' = - \frac{{{e^x}.{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}\)
Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ln 2 x + 1 . ln x x thoả mãn F ( 1 ) = 1 3 . Giá trị của F 2 ( e ) là
A. 8 9
B. 1 9
C. 8 3
D. 1 3
Chọn A
Đặt t = ln 2 x + 1 ⇒ t 2 = ln 2 x + 1 ⇒ t d t = ln x x d x
∫ ln 2 x + 1 . ln x x d x = ∫ t 2 d t = t 3 3 + C = ln 2 x + 1 3 3 + C
Vì F ( 1 ) = 1 3 nên C = 0
Vậy F 2 ( e ) = 8 9
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=x ln x Tính F ' ' x
A. F ' ' x = 1 − ln x
B. F ' ' x = 1 x
C. F ' ' x = 1 + ln x
D. F ' ' x = x + ln x
Đáp án C
Ta có F ' ' x = f ' x = 1 + ln x
Cho hàm số f ( x ) = ln 2019 - ln x + 2 x tính tổng S = f ' ( 1 ) + f ' ( 3 ) + . . . + f ' ( 2019 )
A. 4305 2019
B. 2021
C. 2019 2021
D. 2020 2021
Cho a là một số thực dương. Biết rằng F(x) là 1 nguyên hàm của \(f\left(x\right)=e^x\left(ln\left(ax\right)+\dfrac{1}{x}\right)\) thỏa mãn \(F\left(\dfrac{1}{a}\right)=0\) và \(F\left(2020\right)=e^{2020}\). Tìm a.
\(F\left(x\right)=\int\left(e^x.ln\left(ax\right)+\dfrac{e^x}{x}\right)dx=\int e^xln\left(ax\right)dx+\int\dfrac{e^x}{x}dx=\int e^xlnxdx+\int\dfrac{e^x}{x}dx+\int e^x.lna.dx\)
Xét \(I=\int e^xlnxdx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=lnx.e^x-\int\dfrac{e^x}{x}dx\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=e^x.lnx+e^x.lna+C\)
\(F\left(\dfrac{1}{a}\right)=e^{\dfrac{1}{a}}ln\left(\dfrac{1}{a}\right)+e^{\dfrac{1}{a}}.lna+C=0\Rightarrow C=0\)
\(F\left(2020\right)=e^{2020}ln\left(2020\right)+e^{2020}.lna=e^{2020}\)
\(\Rightarrow ln\left(2020a\right)=1\Rightarrow a=\dfrac{e}{2020}\)
Cho hàm số f ( x ) = ln ( e x + m ) có f'(ln 2) = 3.Giá trị của m bằng
A.
B.
C.
D.
Cho hàm số f(x)=ln2018-ln(x+1 / x).Tính S=f’(1)+f’(2)+f’(3)+…+f’(2017)
A. 4035 2018
B. 2017
C. 2016 2017
D. 2017 2018
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên 0 ; + ∞ .
Biết f ' ( x ) ln ( x ) x v à f ( 1 ) = 3 2 và tính f ( 3 )
Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) \(y = \left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {{x^3} - 3x} \right)\)
b) \(y = \frac{1}{{ - 2x + 5}}\)
c) \(y = \sqrt {4x + 5} \)
d) \(y = \sin x\cos x\)
e) \(y = x{e^x}\)
f) \(y = {\ln ^2}x\)
a: \(y'=\left(x^2+2x\right)'\left(x^3-3x\right)+\left(x^2+2x\right)\left(x^3-3x\right)'\)
\(=\left(2x+2\right)\left(x^3-3x\right)+\left(x^2+2x\right)\left(3x^2-3\right)\)
\(=2x^4-6x^2+2x^3-6x+3x^4-3x^2+6x^3-6x\)
\(=5x^4+8x^3-9x^2-12x\)
b: y=1/-2x+5
=>\(y'=\dfrac{2}{\left(2x+5\right)^2}\)
c: \(y'=\dfrac{\left(4x+5\right)'}{2\sqrt{4x+5}}=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+5}}=\dfrac{2}{\sqrt{4x+5}}\)
d: \(y'=\left(sinx\right)'\cdot cosx+\left(sinx\right)\cdot\left(cosx\right)'\)
\(=cos^2x-sin^2x=cos2x\)
e: \(y=x\cdot e^x\)
=>\(y'=e^x+x\cdot e^x\)
f: \(y=ln^2x\)
=>\(y'=\dfrac{\left(-1\right)}{x^2}=-\dfrac{1}{x^2}\)
