Theo giả thiết, ta có: \(\left(a+b\right)c=ab\Leftrightarrow c^2=ab-ac-bc+c^2\)

\(\Leftrightarrow c^2=a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\Leftrightarrow c^2=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)(1)

Đặt \(\left(a-c;b-c\right)=d\). Khi đó thì \(\hept{\begin{cases}a-c⋮d\\b-c⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(a-c\right)\left(b-c\right)⋮d^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(c^2⋮d^2\Leftrightarrow c⋮d\). Mặt khác \(\hept{\begin{cases}a-c⋮d\\b-c⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a⋮d\\b⋮d\end{cases}}\)

Suy ra được: \(\left(a,b,c\right)=d\)mà a,b,c nguyên tố cùng nhau nên d = 1

Vậy thì \(\left(a-c;b-c\right)=1\)

Mà \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)=c^2\)nên tồn tại hai số nguyên dương m, n sao cho \(\hept{\begin{cases}a-c=m^2\\b-c=n^2\end{cases}}\Rightarrow c^2=\left(mn\right)^2\Rightarrow c=mn\)(do c, m, n nguyên dương)

Khi đó \(a+b=\left(a-c\right)+\left(b-c\right)+2c\)

\(=m^2+n^2+2mn=\left(m+n\right)^2\)(là số chính phương)

Vậy a + b là số chính phương (đpcm)

đặt 2n + 34 = a^2

34 = a^2-n^2

34=(a-n)(a+n)

a-n thuộc ước của 34 là { 1; 2; 17; 34} và a-n . Ta có bảng sau ( mik ko bt vẽ)

=>     a-n        1        2 

         a+n        34      17

        Mà tổng và hiệu 2 số nguyên cùng tính chẵn lẻ

      Vậy ....

Ta cóS = 14 +24 +34 +···+1004 không là số chính phương.

=>  S= (1004+14).100:2=50 900 ko là SCP

2: A=n^2+3n+2=(n+1)(n+2)

Để A là số nguyên tố thì n+1=1 hoặc n+2=2

=>n=0

thtfgfgfghggggggggggggggggggggg

Điều kiện đề bài $\Rightarrow (2c{)}^2=(a+c\left)\right(b+c)$. Gọi $d=gcd(a+c,b+c)$ thì do $a-b=p\in P$ nên $d=1$hoặc $d=p$

Nếu $d=1$ thì $a+c=x^2,b+c=y^2$ ( $xy=2c$)

$\Rightarrow p=(x-y)(x+y)$. $p=2$ thì vô lý. $p$ lẻ thì dễ thấy $x=\frac{p+1}{2}=\frac{a-b+1}{2}$ và $y=\frac{a-b-1}{2}$

$\Rightarrow 2c=xy=\frac{(a-b-1)(a-b+1)}{4}\Rightarrow 8c+1=(a-b{)}^2$ là scp

Nếu $d=p$ thì $a+c=p{m}^2,b+c=p{n}^2$ ( $2c=pmn$)

$\Rightarrow (m-n)(m+n)=1\to m=1,n=0$ (loại)