Khi tính nguyên hàm ∫ x - 3 x + 1 d x , bằng cách đặt u = x + 1 ta được nguyên hàm nào?
A. ∫ 2 u u 2 - 4 d u
B. ∫ u 2 - 4 d u
C. ∫ 2 u 2 - 4 d u
D. ∫ u 2 - 3 d u
Khi tính nguyên hàm ∫ x - 3 x + 1 d x , bằng cách đặt u = x + 1 ta được nguyên hàm nào
A. ∫ 2 u 2 - 4 d u
B. ∫ u 2 - 4 d u
C. ∫ u 2 - 3 d u
D. ∫ 2 u u 2 - 4 d u
Tính nguyên hàm \(\int\dfrac{1}{x^3+x}dx\)
\(\int\dfrac{dx}{x^3+x}=\int\dfrac{dx}{x\left(x^2+1\right)}\)
\(t=x^2+1\Rightarrow dt=2xdx\Rightarrow\int\dfrac{dx}{x\left(x^2+1\right)}=\int\dfrac{dt}{2x^2t}=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{\left(t-1\right).t}\)
\(\dfrac{1}{\left(t-1\right).t}=\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t}\)
\(\Rightarrow\int\dfrac{dt}{\left(t-1\right)t}=\int\left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t}\right)dt=\int\dfrac{dt}{t-1}-\int\dfrac{dt}{t}=ln\left|t-1\right|-ln\left|t\right|=ln\left|x^2\right|-ln\left|x^2+1\right|\)
Tính nguyên hàm của:
1, \(\int\)\(\dfrac{x^3}{x-2}dx\)
2, \(\int\)\(\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}\)
3, \(\int\)\((\dfrac{5}{x}+\sqrt{x^3})dx\)
4, \(\int\)\(\dfrac{x\sqrt{x}+\sqrt{x}}{x^2}dx\)
5, \(\int\)\(\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)
a. \(\int\dfrac{x^3}{x-2}dx=\int\left(x^2+2x+4+\dfrac{8}{x-2}\right)dx=\dfrac{1}{3}x^3+x^2+4x+8ln\left|x-2\right|+C\)
b. \(\int\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\int\dfrac{xdx}{x^2\sqrt{x^2+1}}\)
Đặt \(\sqrt{x^2+1}=u\Rightarrow x^2=u^2-1\Rightarrow xdx=udu\)
\(I=\int\dfrac{udu}{\left(u^2-1\right)u}=\int\dfrac{du}{u^2-1}=\dfrac{1}{2}\int\left(\dfrac{1}{u-1}-\dfrac{1}{u+1}\right)du=\dfrac{1}{2}ln\left|\dfrac{u-1}{u+1}\right|+C\)
\(=\dfrac{1}{2}ln\left|\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1}\right|+C\)
c. \(\int\left(\dfrac{5}{x}+\sqrt{x^3}\right)dx=\int\left(\dfrac{5}{x}+x^{\dfrac{3}{2}}\right)dx=5ln\left|x\right|+\dfrac{2}{5}\sqrt{x^5}+C\)
d. \(\int\dfrac{x\sqrt{x}+\sqrt{x}}{x^2}dx=\int\left(x^{-\dfrac{1}{2}}+x^{-\dfrac{3}{2}}\right)dx=2\sqrt{x}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+C\)
e. \(\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=arcsin\left(x\right)+C\)
Cho hàm số y=f(x) là hàm số xác định và có nguyên hàm liên tục trên R, tuần hoàn có chu kì là T=6. Biết ∫ 0 1 f ( 2 x ) d x = - 1 ∫ - 2 2 f ( x + 4 ) d x = 3 Giá trị ∫ 0 2018 f ( x ) d x bằng
A. 336
B. 334
C. 332
D. 338
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [1;3], F(1)=3,F(3)=5 và ∫ 1 3 ( x 4 - 8 x ) f ( x ) dx = 12 . Tính I = ∫ 1 3 ( x 3 - 2 ) F ( x ) dx .
A. I= 147 2
B. I= 147 3
C. I= - 147 2
D. I= 147.
Cho hai hàm số liên tục f(x) và g(x) có nguyên hàm lần lượt là F(x) và G(x) trên [0; 2]. Biết F(0) = 0, F(2) = 1, G(2) = 1 và ∫ 0 2 F ( x ) g ( x ) d x = 3 . Tính tích phân hàm: ∫ 0 2 G ( x ) f ( x ) d x
A. I = 3.
B. I = 0.
C. I = -2.
D. I = -4.
Chọn C.
Đặt u = G ( x ) d v = f ( x ) d x ⇒ d u = G ( x ) ' d x = g ( x ) d x v = ∫ f ( x ) d x = F ( x )
Suy ra: I = G ( x ) F ( x ) 2 0 - ∫ 0 2 F ( x ) g ( x ) d x
= G(2)F(2) – G(0)F(0) – 3 = 1 – 0 – 3 = -2.
Cho hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) trên đoạn [1;2], biết F(2) = 1 và ∫ 1 2 F ( x ) d x = 5 . Tính I= ∫ 1 2 ( x - 1 ) f ( x ) d x
