\(\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\right)\)

\(=x^5-x^4y+x^3y^2-x^2y^3+xy^4+x^4y-x^3y^2+x^2y^3-xy^4+y^5\)

\(=\left(x^5+y^5\right)+\left(x^4y-x^4y\right)+\left(x^3y^2-x^3y^2\right)+\left(x^2y^3-x^2y^3\right)+\left(xy^4-xy^4\right)\)

\(=x^5+y^5\)

x^5- 1/ x-1= x^4+ x^3+ x^2+ x+ 1 

<=> x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)

<=> x^5 - 1 = x^5 + x^4 + x^3  + x^2 + x - x^4 - x^3 - x^2 - x - 1

<=> x^5 - 1 = x^5 - 1 (đúng)

=> đpcm

câu hỏi tương tự

\(\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2=2\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+x^2-2xy=2\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2=2\left(x^2+y^2\right)\left(đúng\right)\)

Vậy đẳng thức đã được chứng minh

VT=(x+y)^2+(x-y)^2

=x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2

=2x^2+2y^2

=2(x^2+y^2)=VP

Vậy đẳng thức đã được chứng minh

Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã được chứng minh

Cách khác so với anh Nguyễn Việt Lâm

Ta có: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}}=2\)  (đpcm)

Chứng minh vế trái bằng vế phải:

\(x^4+y^4+\left(x+y\right)^4=2x^4+2y^4+4x^3y+4xy^3+6x^2y^2\)

\(=2\left(x^4+y^4+2x^3y+2xy^3+3x^2y^2\right)\)

\(=2\left(x^4+y^4+x^2y^2+2x^3y+2xy^3+2x^2y^2\right)\)

\(=2\left(x^2+y^2+xy\right)^2\)

\(\text{Chứng minh vế trái bằng vế phải: }\)

\(x^4+y^4+\left(x+y\right)^4=2x^4+2y^4+4x^3y+4xy^3+6x^2y^2\)

\(=2\left(x^4+y^4+2x^3y+2xy^3+3x^2y^2\right)\)

\(=2\left(x^4+y^4+x^2y^2+2x^3y+2xy^3+2x^2y^2\right)\)

\(=2\left(x^2+y^2+xy\right)^2\)