Cho 2 số dương a,b thỏa mãn a+b\(\le2\sqrt{2}\)
tìm GTNN của \(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
Cho hai số dương a,b thỏa mãn: a+b\(\le2\sqrt{2}\)
Tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)
số 9 nha chúc bạn học giỏi nhớ k cho mình nhé
Ta có \(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(a+b\le2\sqrt{2}\) \(\Rightarrow\frac{4}{a+b}\ge\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Hay \(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=\sqrt{2}\)
Vậy \(P_{min}=\sqrt{2}\) tại \(a=b=\sqrt{2}\)
Cho hai số dương a,b thỏa mãn : \(a+b\le2\sqrt{2}\). Tìm GTNN của biểu thức : \(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
theo bất đẳng thức : AM-GM. ta có: a+b>= 2căn(ab).suy ra.(ab)<=(a+b)2/4.( lưu ý(a+b)bình phương chia 4 nha em.).vây ab=2. theo biểu thức.P=1/a+1/b theo BĐT:AM-GM thì:P>=(1/căn(ab)):dấ = xảy ra thì P đạt GTNN: P=1/căn2. em nhớ diển đạt = bằng biểu thức toan học nha.
Áp dụng BĐT sau:1/a+1/b>=4/(a+b) => P>=4/(a+b)
Mà a+b<=2V2 => 4/(a+b)>=4/2V2=V2
Vậy P >=V2.Dấu = khi va chi khi a=b=V2
1/tìm số n nguyên dương thỏa mãn
\(\sqrt{\left(3+2\sqrt{2}\right)^n}+\sqrt{\left(3-2\sqrt{2}\right)^n}=6\)
2/ cho a, b là các số dương thỏa mãn \(1\le a\le b\le2\)
tìm GTLN của \(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a+b+c\le2\)
Tìm GTNN của \(P=21\left(a^2+b^2+c^2\right)+12\left(a+b+c\right)^2+2017\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Ta co:
\(P\ge21\left(a^2+b^2+c^2\right)+12\left(a+b+c\right)^2+\frac{2017.9}{2}\)
\(=21\left(a^2+b^2+c^2\right)+12\left(a+b+c\right)^2+\frac{18153}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{P}{\left(a+b+c\right)^2}\ge21\left[\left(\frac{a}{a+b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{a+b+c}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b+c}\right)^2\right]+12+\frac{\frac{18153}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Dat \(\left(\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow x+y+z=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=\frac{a^2}{x^2}\)
BDT tro thanh:
\(\frac{P}{\left(a+b+c\right)^2}\ge21\left(x^2+y^2+z^2\right)+12+\frac{18153}{2\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{P}{\frac{a^2}{x^2}}\ge21\left(x^2+y^2+z^2\right)+12+\frac{18153}{2\left(a+b+c\right)^2}\ge21.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+12+\frac{18153}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2P}{a^2}\ge7+12+\frac{18153}{8}\)
Ta lai co:\(x=\frac{a}{a+b+c}\ge\frac{a}{2}\Rightarrow a^2\le4x^2\)
Suy ra:\(\frac{x^2P}{a^2}\ge\frac{x^2P}{4x^2}=\frac{P}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{P}{4}\ge\frac{18503}{8}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{18503}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Vay \(P_{min}=\frac{18503}{2}\)khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn \(a+b\le2\sqrt{2}\) , tìm minP = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
Từ bất đẳng thức luôn đúng \(\left(a-b\right)^2\ge0\)\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)(*)
Vì a, b là các số thực dương nên nhân cả 2 vế của (*) cho \(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}\), ta có:
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4}{ab\left(a+b\right)}\)\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)\(\Leftrightarrow P\ge\frac{4}{a+b}\)
Lại có \(a+b\le2\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{4}{a+b}\ge\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Từ đó ta có \(P\ge\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\sqrt{2}\)
cho 2 số dương a ,b thỏa mãn : a+b \(\le2\sqrt{2}\)
Tìm GTNN của biểu thức : \(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
\(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\ge\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\sqrt{2}\) khi \(a=b=\sqrt{2}\)
Cho a,b dương thỏa mãn a+b=4. Tìm GTNN: A=\(\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}\)
Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b=1.Tìm GTNN của bt sau
\(a,A=\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\)
\(b,B=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\)
Bài 2:Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn a+b+c=9.tìm GTNN của bt
\(a,A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}\) \(b,B=\frac{a^3}{c^2+b^2}+\frac{b^3}{a^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\)
Bai 3:Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn \(x^2+y^2=4\) Tìm GTNN của bt \(A=\left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(y+\frac{1}{x}\right)^2\)
Bài 4 Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=1 Tìm GTLN của bt
\(a,A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\) \(b,B=\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\)
1a
\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)
\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)
1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)
\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bài 2 Dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel là ra:D
Bài 3:Đừng vội dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel ngay kẻo bị phức tạp:v Thay vào đó hãy khai triển nó ra:
\(A=x^2+y^2+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)
\(\ge4+2.2+\frac{4}{x^2+y^2}=4+4+1=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\sqrt{2}\)
Bài 4: Dùng Cauchy or Bunhiacopxki là ok!
Cho a,b,c dương thỏa mãn: \(a+b+c\le2\)
tìm gtnn: \(P=21\left(a^2+b^2+c^2\right)+12\left(a+b+c\right)^2+2017\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)