Cho hình thoi ABCD tâm O. Trên tia đối của các tia BA, CB, DC, AD lần lượt các điểm E, F, G, H sao cho BE = CF = DG = AH.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành.
b) Chứng minh điểm O là tâm đối xứng của hình bình hành EFGH.
c) Hình thoi ABCD phải có điều kiện gì để EFGH trở thành hình thoi ?
giúp với
a) Ta có AB = CD (cạnh hình thoi)
BE = DG (gt)
⇒ AB + BE = CD + DG hay AE = CG (cmt)
Xét ΔAHE và ΔCFG có:
AE = CG
∠HAE = ∠FCG (cùng bù với ∠BAD = ∠DCB ),
AH = CF (gt)
Do đó ΔAHE = ΔCFG (c.g.c) ⇒ HE = FG
Chứng minh tương tự ta có HG = EF
Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành (các cạnh đối bằng nhau).
b) Nối E và G.
Xét ΔOBE và ΔODG có
BE = DG (gt),
∠OBE = ∠ODG (so le trong),
OB = OD ( tính chất đường chéo của hình thoi ABCD)
⇒ ΔOBE = ΔODG (c.g.c) ⇒ ∠OBE = ∠ODG
Mà ∠DOG + ∠GOB = 180o ⇒ ba điểm G, O, E thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta có H, O, F thẳng hàng.
Vậy O là tâm đối xứng của hình bình hành EFGH.
Cho hình thoi ABCD tâm O. Trên tia đối của các tia BA, CB,DC,AD lần lượt là các điểm E, F, G, H sao cho BE=CF=DG=AH.
a) Chứng minh tứ giác ÈGH là hình bình hành
b) Chứng minh điểm 0 là tâm đối xứng của hình bình hành EFGH
c)Hình thoi ABCD phải có điều kiện gì để EFGH trở thành hình thoi ?
Cho hình thoi ABCD có tâm là O.Trên tia đối của các tia BA,CB,DC,DA lần lượt lấy các điểm E,F,G,H sao cho BE=CF=DG=AH
a)Chứng minh EFGH là hình bình hành
b)Chứng minh O là tâm đối xứng của hình bình hành
c)Hình thoi ABCD cần có thêm điều kiện gì để EfGH là hình thoi
a) Ta có AB = CD (cạnh hình thoi)
BE = DG (gt)
⇒ AB + BE = CD + DG hay AE = CG (cmt)
Xét ΔAHE và ΔCFG có:
AE = CG
∠HAE = ∠FCG (cùng bù với ∠BAD = ∠DCB ),
AH = CF (gt)
Do đó ΔAHE = ΔCFG (c.g.c) ⇒ HE = FG
Chứng minh tương tự ta có HG = EF
Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành (các cạnh đối bằng nhau).
b) Nối E và G.
Xét ΔOBE và ΔODG có
BE = DG (gt),
∠OBE = ∠ODG (so le trong),
OB = OD ( tính chất đường chéo của hình thoi ABCD)
⇒ ΔOBE = ΔODG (c.g.c) ⇒ ∠OBE = ∠ODG
Mà ∠DOG + ∠GOB = 180o ⇒ ba điểm G, O, E thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta có H, O, F thẳng hàng.
Vậy O là tâm đối xứng của hình bình hành EFGH.
Cho hình thoi ABCD tâm O, trên tia đối của các tia BA, CB, DC, AD lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho BE = CF = DG = AH.
a) Cm: EFGH là hình bình hàh
b) CM: O là tâm đối xứng của hbh EFGH
c) Hthoi ABCD có đk j để EFGH là hthoi.
Tự vẽ hình
a) Ta có: AB = CD (cạnh hình thoi)
BE = DG (g.t)
=> AB + BE = CD + DG hay AE = CG (cmt)
Xét tam giác AHE và tam giác CFG ta có:
AE=CG
HAE = FCG (cùng bù vs BAD = DCB)
AH=CF (gt)
Do đó tam giác AHE = tam giác CFG (c.g.c) => HE = FG
Do đó EFGH là cạnh bình hành (đpcm)
b) Nối E vs G
Xét tam giác OBE và tam giác ODG ta có:
BE= DG (gt)
OBE = ODG (so le trong)
OB = OD ( tính chất đường chéo của hình thoi ABCD)
=> tam giác OBE = tam giác ODG (c.g.c) => OBE = ODG
Mà DOG + GOB = 180o ⇒ ba điểm G, O, E thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta có H, O, F thẳng hàng.
Vậy O là tâm đối xứng của hình bình hành EFGH.
c) Hình bình hành EFGH là hình thoi ⇔ HE = EF
\(\Leftrightarrow\Delta HAE=\Delta EBF\left(c.c.c\right)\)
\(\Leftrightarrow\widehat{HAE}=\widehat{EBF}=\widehat{EDA}\left(đv\right)\)
\(\Leftrightarrow\widehat{HAE}=\widehat{EAD}\) mà \(\widehat{HAE}+\widehat{EAD=180^O\left(kb\right)}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{HAE}=\widehat{EAD}=90^O\)
⇔ Hình thoi ABCD có 1 góc vuông
⇔ ABCD là hình vuông.
Vậy hình thoi ABCD phải là hình vuông thì hình bình hành EFGH trở thành hình thoi.
a) Ta có AB = CD (cạnh hình thoi)
BE = DG (gt)
⇒ AB + BE = CD + DG hay AE = CG (cmt)
Xét ΔAHE và ΔCFG có:
AE = CG
∠HAE = ∠FCG (cùng bù với ∠BAD = ∠DCB ),
AH = CF (gt)
Do đó ΔAHE = ΔCFG (c.g.c) ⇒ HE = FG
Chứng minh tương tự ta có HG = EF
Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành (các cạnh đối bằng nhau).
b) Nối E và G.
Xét ΔOBE và ΔODG có
BE = DG (gt),
∠OBE = ∠ODG (so le trong),
OB = OD ( tính chất đường chéo của hình thoi ABCD)
⇒ ΔOBE = ΔODG (c.g.c) ⇒ ∠OBE = ∠ODG
Mà ∠DOG + ∠GOB = 180o ⇒ ba điểm G, O, E thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta có H, O, F thẳng hàng.
Vậy O là tâm đối xứng của hình bình hành EFGH.
c) Hình bình hành EFGH là hình thoi ⇔ HE = EF
⇔ Hình thoi ABCD có 1 góc vuông
⇔ ABCD là hình vuông.
Vậy hình thoi ABCD phải là hình vuông thì hình bình hành EFGH trở thành hình thoi.
Bài 19. Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia
CB lấy điểm F, trên ta đối của tia DC lấy điểm G, trên tia đối của tia AD lấy
điểm H sao cho BE = CF = DG = AH.
1. Chứng minh tứ giác EF GH là hình bình hành.
2. Chứng minh hình bình hành EF GH và hình thoi ABCD có chung tâm đối
xứng.
3. Nếu ABCD là hình vuông thì EF GH là hình gì? Tại sao?
1:
ta có:ABCD là hình thoi
=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BCD};\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)
Ta có: \(\widehat{BAD}+\widehat{EAH}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{BCD}+\widehat{FCD}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\)
nên \(\widehat{EAH}=\widehat{FCD}\)
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{EBC}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{ADC}+\widehat{ADG}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)
nên \(\widehat{EBC}=\widehat{ADG}\)
Ta có: \(DA+AH=DH\)
\(AB+BE=AE\)
\(BC+CF=BF\)
\(CD+DG=CG\)
mà DA=AB=BC=CD và AH=BE=CF=DG
nên DH=AE=BF=CG
Xét ΔHAE và ΔFCG có
HA=FC
\(\widehat{HAE}=\widehat{FCG}\)
AE=CG
Do đó: ΔHAE=ΔFCG
=>HE=FG
Xét ΔHDG và ΔFBE có
DH=BF
\(\widehat{HDG}=\widehat{BFE}\)
DG=BE
Do đó: ΔHDG=ΔFBE
=>HG=FE
Xét tứ giác GHEF có
GH=EF
GF=HE
Do đó: GHEF là hình bình hành
2: Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có: ABCD là hình thoi
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Xét tứ giác AHCF có
AH//CF
AH=CF
Do đó: AHCF là hình bình hành
=>AC cắt HF tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểmcủa HF
Ta có: EHGF là hình bình hành
=>EG cắt HF tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của HF
nên O là trung điểm của EG
=>Hình bình hành EHGF và hình thoi ABCD có chung tâm
Bài 19. Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia
CB lấy điểm F, trên ta đối của tia DC lấy điểm G, trên tia đối của tia AD lấy
điểm H sao cho BE = CF = DG = AH.
1. Chứng minh tứ giác EF GH là hình bình hành.
2. Chứng minh hình bình hành EF GH và hình thoi ABCD có chung tâm đối
xứng.
3. Nếu ABCD là hình vuông thì EF GH là hình gì? Tại sao?
1: DH=DA+AH
CG=CD+DG
BF=BC+CF
AE=AB+BE
mà DA=CD=BC=AB và AH=DG=CF=BE
nên DH=CG=BF=AE
góc ADG=180 độ-góc ADC
góc EBF=180 độ-góc ABC
mà góc ADC=góc ABC
nên góc ADG=góc EBF
góc EAB=180 độ-góc BAD
góc GCF=180 độ-góc BCD
mà góc BAD=góc BCD
nên góc EAB=góc GCF
Xét ΔHDG và ΔFBE có
HD=FB
góc HDG=góc FBE
DG=BE
Do đó: ΔHDG=ΔFBE
=>HG=FE
Xét ΔHAE và ΔFCG có
HA=FC
góc HAE=góc FCG
AE=CG
Do đó: ΔHAE=ΔFCG
=>HE=FG
Xét ΔADG và ΔCBE có
AD=CB
góc ADG=góc CBE
DG=BE
Do đó: ΔADG=ΔCBE
=>AG=CE
Xét tứ giác EHGF có
EH=FG
EF=GH
Do đó: EHGF là hình bình hành
2:
Gọi O là giao của AC và BD
ABCD là hình thoi
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Xét tứ giác AGCE có
AG=CE
AE=CG
Do đó: AGCE là hình bình hành
=>AC cắt GE tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm của GE
GHEF là hình bình hành
=>GE cắt HF tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm của HF
=>ĐPCM
3:
ABCD là hình vuông
=>góc BAD=góc ADC=90 độ
Xét ΔHAE vuông tại A và ΔGDH vuông tại D có
HA=GD
AE=DH
Do đó: ΔHAE=ΔGDH
=>HE=GH
Xét hình bình hành EHGF có HE=GH
nên EHGF là hình thoi
Cho tứ giác ABCD. trên các tia đối của tia BA,CB,DC,AD lần lượt lấy các điểm E,F,G,H sao cho BE=BA, CF=CB,DG=DC,AH=AD.chứng minh rằng SABCD=1/5 SEFGH
e lon ton chạy trên đường
Cho tứ giác ABCD. Lần lượt trên tia đối của AD,BA,CB,DC lấy các điểm E,F,G,H, sao cho BE=BA, CF=CB, DG=DC, AH=AD. Chứng minh : S ABCD = 1/5 S EFGH.
Cho hình vuông ABCD, giao điểm của AC và BD là O . Gọi các điểm G,H,I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,CD. Gọi E là điểm đối xứng của O qua I.
a) Chứng minh tứ giác DAOE là hình bình hành.
b) Chứng minh AH vuông góc với DG.
c) Trên tia đối tia CA lấy điểm M, trên tia đối tia EC lấy điểm N sao cho OM=EN, gọi F là trung điểm của MN. Chứng minh rằng O, E, F thẳng hàng.
b: góc GAH+góc DGA
=90 độ-góc BHA+góc DGA
=90 độ
=>DG vuông góc với AH
a: Xét ΔCDA có CI/CD=CO/CA
nên OI//AD và OI=1/2AD
=>OE//AD và OE=AD
=>AOED là hình bình hành
