Cho a+b+c=2015 và \(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}=\frac{1}{5}\)
Tính B=\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
Mình làm bằng 400 đúng không các bạn
a)cho a+b+c=2015. và \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{1}{5}\)tính A=\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
b) cho \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\). CMR \(\frac{2a^2-3ab+5b^2}{2a^2+3ab}=\frac{2c^2-3cd+3d^2}{2c^2+3cd}\)
giúp mình với mình tick cho
a) \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{1}{5}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2015}{a+b}+\frac{2015}{b+c}+\frac{2015}{c+a}=403\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}=403\)
\(\Leftrightarrow3+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=403\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=400\)
b) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=ck\\b=dk\end{cases}}\)
Thay vào rồi c/m nhé
a) Từ đẳng thức : \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
\(\Rightarrow A+3=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\)
\(\Rightarrow A+3=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\)
\(\Rightarrow A+3=\left(a+b+c\right).\frac{1}{b+c}+\left(a+b+c\right).\frac{1}{a+c}+\left(a+b+c\right).\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow A+3=\left(a+b+c\right).\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow A+3=2015.\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow A+3=403\)
\(\Rightarrow A=400\)
Vậy A = 400
b) Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow a=bk;c=dk\)
Khi đó : \(\frac{2a^2-3ab+5b^2}{2a^2+3ab}=\frac{2\left(bk\right)^2-3b^2k+5b^2}{2\left(bk\right)^2+3b^2k}=\frac{2k^2b^2-3b^2k+5b^2}{2b^2k^2+3b^2k}=\frac{b^2\left(2k^2-3k+5\right)}{b^2\left(2k^2+3k\right)}\)
\(=\frac{2k^2-3k+5}{2k^2+3k}\left(1\right)\);
\(\frac{2c^2-3cd+5d^2}{2c^2+3cd}=\frac{2\left(dk\right)^2-3d^2k+5d^2}{2\left(dk\right)^2+3d^2k}=\frac{2d^2k^2-3d^2k+5d^2}{2d^2k^2+3d^2k}=\frac{d^2.\left(2k^2-3k+5\right)}{d^2\left(2k^2+3k\right)}\)
\(=\frac{2k^2-3k+5}{2k^2+3k}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\frac{2a^2-3ab+5b^2}{2a^2+3ab}=\frac{2c^2-3cd+5d^2}{2c^2+3cd}\)(đpcm)
1)Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: a+b+c=2015 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2015}\).Tính \(\frac{1}{a^{2015}}+\frac{1}{b^{2015}}+\frac{1}{c^{2015}}\)
2)Cho n là số dương.Chứng minh:
T= \(2^{3n+1}-2^{3n-1}+1\) là hợp số.
3)Cho a,b,c là ba số dương và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\).Tìm Max A=\(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+a^2}}\)
a) Cho a + b +c = 2015 và \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{1}{2015}\)
Tính S = \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
b) cho 2 số a,b thỏa mãn điều kiện a+b=1.Chứng minh a3 +b3 +ab lớn hơn hoặc bằng \(\frac{1}{2}\)
\(a)\) Ta có :
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{1}{2015}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=\left(a+b+c\right).\frac{1}{2015}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}=\frac{a+b+c}{2015}\)
\(\Leftrightarrow\)\(1+\frac{c}{a+b}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{a}{b+c}=\frac{2015}{2015}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=1-3\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=-2\)
Vậy ...
Cho \(a+b+c=2015\) với \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=5\). Tính giá trị của \(Q=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
làm chi tiết, càng nhanh càng tốt nhé
Ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)=2015.5\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{a+b}+\frac{a+c}{c+a}+\frac{b+c}{b+c}=2015.5\)
\(\Leftrightarrow Q+3=2015.5\Rightarrow Q=2015.5-3=10072\)
Cho a+b+c=2015 và\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{1}{90}\) Tính S=\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{b+a}\)
\(\frac{2015}{a+b}+\frac{2015}{b+c}+\frac{2015}{c+a}=\frac{2015}{90}\)
\(\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}=\frac{2015}{90}\)
\(1+\frac{c}{a+b}+1+\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}=\frac{2015}{90}\)
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{b+a}=\frac{2015}{90}-3=\frac{349}{18}\)
Các cách làm của các bạn đọc rất thoải mái ngắn hơn cách mình làm rất nhiều. Thanks all!!! <3
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng \(\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\le2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Bài này cần chú ý: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{ac}\)
Và \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b+2c\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Thêm 3 vào 2 vế ta cần chứng minh:
\(\frac{2}{1-a}+\frac{2}{1-b}+\frac{2}{1-c}\le2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2}\) (chia hai vế cho 2 và chú ý 1 =a + b + c)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b+2c\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{ac}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\frac{1}{ab}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)+\left(\frac{1}{ac}-\frac{a+b+2c}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\ge0\)
Quy đồng mỗi cái ngoặc to phía sau là thấy nó > 0:D
Giả sử c = min{a,b,c} như vậy (a-c)(b-c)\(\ge0\) chúng ta có đpcm.
Is that true?
WLOG \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\). Áp dụng một bổ đề trong một bài giải của alibaba nguyễn trong câu hỏi của Neet ở học 24. Mọi người có thể tự chứng minh để nhớ lâu hoặc ai cần có thể hỏi ổng
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\) với a,b,c>0
Khi đó ta cần chứng minh \(2\left(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\right)+2\ge\frac{2a+b+c}{b+c}+\frac{2b+c+a}{c+a}+\frac{2c+a+b}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}-\frac{1}{2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}-\frac{1}{2}\ge\frac{b}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a+c+2b\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)*đúng với \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\)*
Lục vui câu hỏi của cô Chi thấy vài bài ngon mà mấy God dùng đao to vãi :))
\(\frac{1+a}{1-a}=\frac{1-a+2a}{1-a}=1+\frac{2a}{1-a}=1+\frac{2a}{b+c}\)
Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(3+\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\le2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{3}{2}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ac}{b\left(b+c\right)}+\frac{bc}{a\left(a+b\right)}+\frac{ab}{c\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Mặt khác:
\(LHS=\Sigma\frac{ac}{b\left(b+c\right)}=\Sigma\frac{a^2c^2}{abc\left(b+c\right)}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\Sigma abc\left(b+c\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
Tuy nhiên đây là bổ đề quen thuộc
Vậy ta có đpcm
Các bạn giúp mình với nha:
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.
CMR\(\frac{a.b}{a^2+b^2}+\frac{b.c}{b^2+c^2}+\frac{c.a}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{15}{4}\)
dự đoán của Thần thánh
\(\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\)
\(VT=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
\(p=\frac{ab}{a^2+b^2}+....+\frac{ca}{c^2+a^2};A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\frac{4}{9}}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\frac{4}{9}}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}\sqrt{ab}=3\sqrt{ab}\)
tương tự với các BDT còn lại suy ra
\(p+\frac{9}{4}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
\(P+\frac{9}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{9}}=\frac{2a}{3}\)
tương tự với b^2+c^2 ta được
\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
" thay 1/3 vào ta được
\(p+\frac{3}{2}\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si dạng " Rei " " luôn đúng với những bài ngược dấu "
\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\sqrt[3]{abc}\)
mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
thay a+b+c=1 vào ta được
\(P+\frac{3}{2}\ge3\Leftrightarrow P\ge\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) " 1 "
bây giờ tính nốt con \(A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
áp dụng BDT \(\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a+b+c}\)
\(A=\frac{9}{4}.\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\)
mà a+b+C=1 suy ra
\(A\ge\frac{9}{4}\) "2"
từ 1 và 2 suy ra
\(VT=P+A\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
" đúng với dự đoán của thần thánh "
Cho a+b+c =2015 and \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}=\frac{1}{10}\)
Tính \(S=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}\)
\(S=\frac{2015-\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{2015-\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{2015-\left(a+c\right)}{a+c}=\frac{2015}{a+b}-\frac{a+b}{a+b}+\frac{2015}{b+c}-\frac{b+c}{b+c}+\frac{2015}{a+c}-\frac{a+c}{a+c}\)
\(S=2015.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)-3=2015.\frac{1}{10}-3=\frac{1085}{10}\)
Cho a + b + c = 2017 và \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}=\frac{1}{2017}\)
Tính A = \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
Mk rất gấp, các bn giúp mk vs!!! Mk sẽ tick cho ai trả lời nhanh và đúng nhất
Ta có :
\(A+3=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+3\)
\(=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\)
\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(=2017.\frac{1}{2017}=1\)
\(\Rightarrow A=1-3=-2\)