Ta phân tích biểu thức đã cho ra nhân tử :

\(A=n^4-4n^3-4n^2+16n\)

\(=\left[n^4-4n^3\right]-\left[4n^2-16n\right]=n^3(n-4)-4n(n-4)\)

\(=n(n-4)\left[n^2-4\right]=n(n-2)(n+2)(n-4)\)

Vì n chẵn và lớn hơn 4 nên ta đặt n = 2k + 2 , trong đó k > 1 và biểu diễn theo k,ta có : \(A=(2k+2)(2k)(2k+4)(2k-2)\)

\(=16k(k-1)(k+1)(k+2)=16(k-1)(k)(k+1)(k+2)\)

Ta nhận thấy \((k-1)(k)(k+1)(k+2)\)là tích của bốn số nguyên dương liên tiếp,tích này chia hết cho 2.3.4 = 24

Vậy tích A đã cho chia hết cho 16.2.3.4 = 384 => đpcm

Mình làm gọn 1 xíu nhé

Ta có

\(x^4-4x^3-4x^2+16x=\left(x-4\right)\left(x-2\right)x\left(x+2\right)\)

Đây là tích của 4 số chẵn liên tiếp nên sẽ có 2 số chia hết cho 2, 1số chia hết cho 4, 1 số chia hết cho 8. Nên tích này chia hết cho 2⁷.

Trong 3 số chẵn liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3

Vì 3 và 2⁷ là nguyên tố cùng nhau nên

Tích chia hết cho 3.2⁷ = 384

384 Đúng 100%

Ta có 384 = 3.128 và (3; 128) = 1 Lại có n chẵn và n > 4  n = 2k ( k  N, k > 2)  A = n⁴ – 4n³ – 4n + 16n = 16k⁴ – 32k³ – 16k² + 32k = 16k(k³ – 2k² – k + 2) = 16k(k – 2)(k – 1)(k + 1) Mà k, k – 2, k – 1, k + 1 là 4 số nguyên liên tiếp nên luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4.  k(k – 2)(k – 1)(k + 1)  8  A  16.8 hay A  128 Mặt khác ba trong 4 số nguyên liên tiếp k, k – 2, k – 1, k + 1 phải có một số chia hết cho 3 nên A  3 mà (3; 128) = 1 nên A  384. Vậy A = n⁴ – 4n³ – 4n² + 16n 384 với mọi n chẵn và n > 4

bạn chứng minh tương tự như trên nhé tha số thôi 

Do n là số chẵn => n = 2.k (k > 1)

Ta có:

n⁴ - 4n³ - 4n² + 16n

= (2k)⁴ - 4.(2k)³ - 4.(2k)² + 16.2k

= 2⁴.k⁴ - 4.2³.k³ - 4.2².k² + 32k

= 16.k⁴ - 32k³ - 16k² + 32k

= 16k³.(k - 2) - 16k.(k - 2)

= (k - 2).(16k³ - 16k)

= (k - 2).16k.(k² - 1)

= 16.(k - 2)(k - 1).k.(k + 1)

Vì (k - 2).(k - 1).k.(k + 1) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên (k - 2).(k - 1).k.(k + 1) chia hết cho 3 và 8

Mà (3;8)=1 => (k - 2).(k - 1).k.(k + 1) chia hết cho 24

=> 16.(k - 2).(k - 1).k.(k + 1) chia hết cho 384

=> n⁴ - 4n³ - 4n² + 16n chia hết cho 384 (đpcm)

Câu hỏi của Nghĩa Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

1,

A = n^5 - 5n^3 + 4n = n.(n^4 - 5n^2+4)
= n.( n^4 - 4n^2 - n^2 + 4)
= n.[ n^2.(n^2 - 1) - 4.(n^2 - 1)
= n.(n^2) . (n^2 - 4)
= n.(n-1).(n+1).(n+2).(n-2)
 A chia hết cho 120 (vìđây là 5 số liên tiếp, vì thế nó chia hết cho 2, 3, 4, 5. Mà 2.3.4.5=120 nên A chia hết cho 120 Với mọi n thuộc Z.)

Nhận thấy 323=17.19323=17.19 và (17;19)=1(17;19)=1 nên ta cần chứng minh 20n−1+16n−3n20n−1+16n−3n chia hết cho số 1717 và 1919

Ta có 

20n−1⋮(20−1)=19;16n−3n⋮(16+3)=1920n−1⋮(20−1)=19;16n−3n⋮(16+3)=19 (vì nn chẵn)          (∗)(∗)

Mặt khác

20n+16n−3n−1=20n−3n+16n−120n+16n−3n−1=20n−3n+16n−1 

và 20n−3n⋮(20−3)=17;16n−1⋮(16+1)=1720n−3n⋮(20−3)=17;16n−1⋮(16+1)=17                           (∗∗)(∗∗)

Từ (∗)(∗∗)(∗)(∗∗) ta suy ra đpcm

Nhận thấy 323=17.19323=17.19 và (17;19)=1(17;19)=1 nên ta cần chứng minh 20n−1+16n−3n20n−1+16n−3n chia hết cho số 1717 và 1919

Ta có 

20n−1⋮(20−1)=19;16n−3n⋮(16+3)=1920n−1⋮(20−1)=19;16n−3n⋮(16+3)=19 (vì nn chẵn)          (∗)(∗)

Mặt khác

20n+16n−3n−1=20n−3n+16n−120n+16n−3n−1=20n−3n+16n−1 

và 20n−3n⋮(20−3)=17;16n−1⋮(16+1)=1720n−3n⋮(20−3)=17;16n−1⋮(16+1)=17                           (∗∗)(∗∗)

Từ (∗)(∗∗)(∗)(∗∗) ta suy ra đpcm

Nhận thấy 323=17.19323=17.19 và (17;19)=1(17;19)=1 nên ta cần chứng minh 20n−1+16n−3n20n−1+16n−3n chia hết cho số 1717 và 1919

Ta có 

20n−1⋮(20−1)=19;16n−3n⋮(16+3)=1920n−1⋮(20−1)=19;16n−3n⋮(16+3)=19 (vì nn chẵn)          (∗)(∗)

Mặt khác

20n+16n−3n−1=20n−3n+16n−120n+16n−3n−1=20n−3n+16n−1 

và 20n−3n⋮(20−3)=17;16n−1⋮(16+1)=1720n−3n⋮(20−3)=17;16n−1⋮(16+1)=17                           (∗∗)(∗∗)

Từ (∗)(∗∗)(∗)(∗∗) ta suy ra đpcm

a: Với n=3 thì \(n^3+4n+3=3^3+4\cdot3+3=42⋮̸8\) nha bạn

b: Đặt \(A=n^3+3n^2-n-3\)

\(=\left(n^3+3n^2\right)-\left(n+3\right)\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

n lẻ nên n=2k+1

=>\(A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k;k+1;k+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮3!=6\)

=>\(A=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮6\cdot8=48\)

c: 

d: Đặt \(B=n^4-4n^3-4n^2+16n\)

\(=\left(n^4-4n^3\right)-\left(4n^2-16n\right)\)

\(=n^3\left(n-4\right)-4n\left(n-4\right)\)

\(=\left(n-4\right)\left(n^3-4n\right)\)

\(=n\left(n-4\right)\left(n^2-4\right)\)

\(=\left(n-4\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot n\cdot\left(n+2\right)\)

n chẵn và n>=4 nên n=2k

B=n(n-4)(n-2)(n+2)

\(=2k\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)\left(2k-4\right)\)

\(=2k\cdot2\left(k-1\right)\cdot2\left(k+1\right)\cdot2\left(k-2\right)\)

\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k-2\right)\)

Vì k-2;k-1;k;k+1 là bốn số nguyên liên tiếp

nên \(\left(k-2\right)\cdot\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)⋮4!=24\)

=>B chia hết cho \(16\cdot24=384\)

Bài 2 gọi hai số chẵn đó là 2a và 2a+2
ta có 2a(2a+2)=4a^2+4a=4a(a+1)
vì a và a+1 là hai số liên tiếp nên trong hai số này sẽ có ,ột số chia hết cho 2
Suy ra 4a(a+1)chia hết cho 8
Bài 3 n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3) 
                            =(n-3)(n^2-1)
                            =(n-3)(n-1)(n+1)

Do n lẻ nên ta thay n=2k+1ta được (2k-2)2k(2k+2)=2(k-1)2k2(k+1)
                                                                         =8(k-1)k(k+1)

vì k-1,k,k+1laf ba số nguyên liên tiếp mà tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
8.6=48 Vậy n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 8 với n lẻ

Bài 4 n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^1-1)(n^2-4)
                           =n(n+1)(n-1)(n-2)(n+2)là tích của 5 số nguyên liên tiếp 
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 trong đó có một số là bội của 4
một bội của 3 một bội của 5 do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.3.4.5=120