Bạn tham khảo lời giải tại đây:

https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=62067&q=cho%20tam%20gi%C3%A1c%20ABC%20nh%E1%BB%8Dn%20c%C3%B3%20BC%3Da%3B%20AC%3Db%3B%20AB%3Dc%3BCMR%3A%20a%2FsinA%3Db%2FsinB%3Dc%2Fsin%20C

kẻ đường cao AH,BD,CK 

ta có sinA=BD/AB=> BD=sinA.AB

         sinB=CK/BC=> CK=sinB.BC

         sinC=AH/AC=> AH=sinC.AC

ta có sin B=KC/BC=KC/a; sinB=AH/AB=AH/c

=> KC/a=AH/c

=> \(\frac{sinB.a}{a}=\frac{sinC.b}{c}\)

=> \(sinB=\frac{sinC.b}{c}\)

=> sinB.c=sinC.b

=> \(\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\left(1\right)\)

ta lại có sinC=AH/AC=AH/b; sinC=BD/BC=BD/a

=> AH/b=BD/a

=> \(\frac{sinC.b}{b}=\frac{sinA.c}{a}\)

=> sinC.a=sinA.c

=> \(\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}\left(2\right)\)

(1),(2)=> a/sinA=b/sinB=c/sinC (đpcm)

  Đã xảy ra lỗi rồi. Bạn thông cảm vì sai sót này.

  Ta có:  

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm 

   trong đó với     , ta có:

Tương tự, ta có:

Cộng ba bất đẳng thức     và   , ta được:

Khi đó, ta chỉ cần chứng minh

Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh được quy về dạng sau:    (bất đẳng thức Cauchy cho ba số   )

Hay       

Mà    đã được chứng minh ở câu    nên    luôn đúng với mọi  

Dấu    xảy ra    

Vậy,       

Kẻ đg cao BH

a) + \(sinA=\frac{BH}{AB}=\frac{BH}{c}\)

+ \(S_{ABC}=\frac{1}{2}BH\cdot AC=\frac{BH\cdot AC\cdot AB}{2AB}\)

\(=\frac{bc\cdot sinA}{2}\)

b) + \(sinC=\frac{BH}{BC}=\frac{BH}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{sinA}{sinC}=\frac{\frac{BH}{c}}{\frac{BH}{a}}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}\)

+ Tương tự : \(\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\)

Do đó: \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)

Xem định lý sin

a) Kẻ  \(CE\perp AB\)

Ta có :  \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}CE.AB\left(1\right)\)

Xét  \(\Delta ACE\)có  \(\sin A=\frac{EC}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}AB.AC.\frac{EC}{AC}=\frac{1}{2}AB.EC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)  \(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A\left(đpcm\right)\)

b) Kẻ  \(BD\perp AC\)

Xét  \(\Delta ADB\)có  \(\sin A=\frac{BD}{AB}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=BC\div\frac{BD}{AB}=\frac{BC.AB}{BD}\left(3\right)\)

Lại có :  \(\sin A=\frac{EC}{AC}\)( câu a )

\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=BC\div\frac{EC}{AC}=\frac{CA.BC}{EC}\left(4\right)\)

Xét  \(\Delta BEC\)có  \(\sin B=\frac{EC}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{b}{\sin B}=CA\div\frac{EC}{BC}=\frac{CA.BC}{EC}\left(5\right)\)

Xét  \(\Delta BDC\)có  \(\sin C=\frac{DB}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{c}{\sin C}=AB\div\frac{DB}{BC}=\frac{AB.BC}{DB}\left(6\right)\)

Từ (3) ; (4) ; (5) và (6)  \(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(đpcm\right)\)

c) Xét  \(\Delta ABD\)có  \(\cos A=\frac{AD}{AB}\)

Áp dụng định lí Py-ta-go cho  \(\Delta ABD\)vuông tại D ta được :

\(AB^2=BD^2+AD^2\)

Áp dụng định lí Py-ta-go cho  \(\Delta BDC\)vuông tại D ta được :

\(BD^2+DC^2=BC^2\)

Ta có :  \(b^2+c^2-2bc.\cos A\)

\(=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos A\)

\(=BD^2+AD^2+AC^2-2AB.AC.\frac{AD}{AB}\)

\(=BD^2+\left(AC^2-2AD.AC+AD^2\right)\)

\(=BD^2+\left(AC-AD\right)^2\)

\(=BD^2+DC^2\)

\(=BC^2=a\left(đpcm\right)\)

đặt AB=c, BC=a, AC=c.
để chứng minh bđt trên ta sẽ áp dụng công thức: \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.a.b.sinC=\frac{1}{2}.b.c.sinA=\frac{1}{2}.a.c.sinB\)
ta có: \(\frac{sinA}{sinB+sinC}+\frac{sinB}{sinA+sinC}+\frac{sinC}{sinA+sinB}\)
       \(=\frac{a.b.c.sinA}{a.b.c.sinB+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinB}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinC}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinB}\)
        ;\(=\frac{2S_{\Delta ABC}.a}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.c}+\frac{2S_{\Delta ABC}.b}{2.S_{\Delta ABC}.c+2.S_{\Delta ABC}.b}+\frac{2S_{\Delta ABC}.c}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.a}\)
         \(=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\).
Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
nên \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1.\)
Ta sẽ chứng minh bđt phụ: \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\left(1\right)\)
Thật vậy: \(\left(1\right)\Leftrightarrow a^2< a\left(b+c\right)\Leftrightarrow a< b+c\)(đúng vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác).
tương tự: \(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\).
suy ra: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\).
vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
 

câu này khó ghê

ô mai nhót . Bài toàn khó thế này mà giải được . Tài thật 

Bài 2: 

a: \(\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{21}}{5}\)

\(\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{21}}{5}:\dfrac{2}{5}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}\)

\(\cot\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{21}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{21}\)

b: Đặt \(\cos\alpha=a;\sin\alpha=b\)

Theo đề, ta có: a-b=1/5

=>a=b+1/5

Ta có: \(a^2+b^2=1\)

\(\Leftrightarrow b^2+\dfrac{2}{5}b+\dfrac{1}{25}+b^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow2b^2+\dfrac{2}{5}b-\dfrac{24}{25}=0\)

\(\Leftrightarrow10b^2+2b-24=0\)

=>b=4/5

=>a=3/5

\(\cot\alpha=\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}\)

ai tích mình mình tích lại cho