Ta có:

\(r^2+p^2+4Rr=\left(\dfrac{S}{p}\right)^2+p^2+\dfrac{abc}{S}.\dfrac{S}{p}\)

\(=\dfrac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p}+p^2+\dfrac{abc}{p}\)

\(=\dfrac{p^3+\left(ab+bc+ac\right)p-p^2\left(a+b+c\right)-abc+p^3+abc}{p}\)

\(=ab+bc+ca\)

Do đó:

\(\dfrac{ab+bc+ca}{4R^2}=\dfrac{r^2+p^2+4Rr}{4R^2}\)

\(\Leftrightarrow sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA=\dfrac{r^2+p^2+4Rr}{4R^2}\)\(\left(đpcm\right)\)

bạn giải thích chi tiết đoạn này hộ mình được ko ạ

p^3+(ab+bc+ac)p−p^2(a+b+c)−abc+p^3+abc/p =ab+bc+ca

a) áp dụng ct b=2RsinB ta có 2R(sinB+sinC)=2(r+R) 
chia cả 2 cho 2R ta được sinB+sinC=1+r/R 
mà ta có hệ thức cosa+cosb+cosc=1+r/R (cái này nếu bạn ko biết thì hãy tự cm nhé ,dễ lắm chỉ cần dùng lượng giác một cách khéo là đc thui) 
áp dụng vào bài với chú ý Â=90 thì ta có sinb+sinc=cosb+cosc.điều này hiển nhiên đúng với tam giác vuông tại A 
b) ta có S=pr. từ câu trên ta có a+b+c=2(R+r+RsinA).sina đã biết ,từ đó ta có kết quả 
c)gọi o là tâm ngoại tiếp thì o là trung điểm BC, i là tâm nội tiếp từ i bạn hạ 3 bán kính nội tiếp. ở đây mình hạ bán kính với cạnh BC là IE bạn có tính được BE ko (dễ lắm) với ct S ở trên bạn tính dược r chú ý IOE là tam giác vuông ở E áp dụng pitago là được. 
đây là cách giải khác sau khi mình hiểu trình độ của bạn 
a) cm ct S=pr.từ tâm i bạn hạ ie ứng với bc, ì ứng vớiab ,ih ứng với ac .đặt be=z .ah=x,hc=y ta có x+y=b ,y+z=a,z+x=c.từ đó tính được x.y.z .với chú ý Sabc=2Sbie+2Sahi+2Sihc.ta có ct trên 
Từ đó ta có S=pr=bc/c >r=2bc/a+b+c. 
(r+R)2=a+r=2bc+a2+ab+ac/a+b+c.chú ý a2=b2+c2 ta có kết quả câu a 
câu b.c thì với gợi ý trên bạn cũng có thể tự làm

a) áp dụng ct b=2RsinB ta có 2R(sinB+sinC)=2(r+R) 
chia cả 2 cho 2R ta được sinB+sinC=1+r/R 
mà ta có hệ thức cosa+cosb+cosc=1+r/R (cái này nếu bạn ko biết thì hãy tự cm nhé ,dễ lắm chỉ cần dùng lượng giác một cách khéo là đc thui) 
áp dụng vào bài với chú ý Â=90 thì ta có sinb+sinc=cosb+cosc.điều này hiển nhiên đúng với tam giác vuông tại A 
b) ta có S=pr. từ câu trên ta có a+b+c=2(R+r+RsinA).sina đã biết ,từ đó ta có kết quả 
c)gọi o là tâm ngoại tiếp thì o là trung điểm BC, i là tâm nội tiếp từ i bạn hạ 3 bán kính nội tiếp. ở đây mình hạ bán kính với cạnh BC là IE bạn có tính được BE ko (dễ lắm) với ct S ở trên bạn tính dược r chú ý IOE là tam giác vuông ở E áp dụng pitago là được. 
đây là cách giải khác sau khi mình hiểu trình độ của bạn 
a) cm ct S=pr.từ tâm i bạn hạ ie ứng với bc, ì ứng vớiab ,ih ứng với ac .đặt be=z .ah=x,hc=y ta có x+y=b ,y+z=a,z+x=c.từ đó tính được x.y.z .với chú ý Sabc=2Sbie+2Sahi+2Sihc.ta có ct trên 
Từ đó ta có S=pr=bc/c >r=2bc/a+b+c. 
(r+R)2=a+r=2bc+a2+ab+ac/a+b+c.chú ý a2=b2+c2 ta có kết quả câu a 
câu b.c thì với gợi ý trên bạn cũng có thể tự làm

Tự hỏi tự trả lời .

Hình như câu b chưa rõ lắm, tam giác ABC cân tại đâu?

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.

Ta có: BC = 2R

Giả sử đường tròn (O) tiếp với AB tại D, AC tại E và BC tại F

Theo kết quả câu a) bài 58, ta có ADOE là hình vuông.

Suy ra: AD = AE = EO = OD = r

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AD = AE

BD = BF

CE = CF

Ta có: 2R + 2r = BF + FC + AD + AE

= (BD + AD) + (AE + CE)

= AB + AC

Vậy AB = AC = 2(R + r)

1. \(2cosB=\sqrt{2}\Rightarrow cosxB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow B=45^0\)

2. \(A=180^0-\left(B+C\right)=60^0\)

3. \(r=\dfrac{S}{p}=\sqrt{3}\)

4. \(R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{65}{8}\)