a) Gọi J là điểm thuộc AB sao cho BJ = AB/6

Ta có AM = AB/3 nên AM = 2BJ

Lại có BN = AB/2 mà AB = AC nên AC = 2BN

Vậy thì ta có ngay \(\Delta NBJ\sim\Delta CAM\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BNJ}=\widehat{ACM}\)

Lại có NB // AC nên NJ // EM

Xét tam giác ANJ có NJ // EM, áp dụng đinh lý Pitago ta có:

\(\frac{EA}{NE}=\frac{MA}{MJ}=\frac{2}{3}\)

Mà BN // FC (Cùng vuông góc AB) nên áp dụng định lý Ta let ta cũng có:

\(\frac{AF}{BN}=\frac{EA}{NE}=\frac{2}{3}\)

Mà \(\frac{AM}{BN}=\frac{2}{3}\Rightarrow AM=AF\)

b) Đặt BJ = a

Khi đó ta có \(AF=AM=2a;AC=6a;\)

\(NJ=\sqrt{9a^2+a^2}=a\sqrt{10}\Rightarrow EM=\frac{2a\sqrt{10}}{5}\)

\(BF=\sqrt{4a^2+36a^2}=2a\sqrt{10}\Rightarrow EF=\frac{4a\sqrt{10}}{3}\)

Ta thấy rằng \(EF^2+EC^2=64a^2=FC^2\) nên tam giác EFC vuông tại E.

Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, ta có :

FH = EH = HC

Vậy nên EH = FH = FC/2 = 8a/2 = 4a = BM.

, M là trung điểm của BC ⇒ MB = MC

Xét ΔMBA và ΔMCE có:

MB = MC

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)(đối đỉnh)

MA = ME

=> ΔMBA = ΔMCE (c.g.c) (đpcm)

b, Xét 2 tam giác vuông ΔBHA và ΔBHF có:

BH chung; \(\widehat{ABH}=\widehat{FBH}\) (do góc ABx nhận BC là tia phân giác)

 => ΔBHA = ΔBHF (cạnh góc vuông - góc nhọn)

=>  AB = BF mà AB = CE (do ΔMBA = ΔMCE)

=> CE = BF (đpcm)

c, Ta thấy: \(\widehat{FBC}=\widehat{ABC}=\widehat{ECB}\)

 => ΔKBC cân tại K mà KM là trung tuyến

=>  KM là phân giác của \(\widehat{BKC}\) (1)

ΔKBC cân tại K ⇒ KB = KC mà BF = CE
⇒ KB - BF = KC - CE ⇒ KF = KE

Ta chứng minh được ΔBEK = ΔCFK (c.g.c)

=> \(\widehat{EBK}=\widehat{FCK}\)

=.> ΔBIF = ΔCIE (g.c.g)

=> IF = IE ⇒ ΔIFK = ΔIEK (c.c.c)

 \(\Rightarrow\widehat{IKF}=\widehat{IKF}\)

⇒ KI là phân giác của ^BKC (2)

Từ (1) và (2) suy ra M, I, K thẳng hàng (đpcm)

a) ta thấy góc xBC = góc ADB ( cặp góc đồng vị) (1)

    Mà bx là tia phân giác của góc ABC nên góc ABM = góc MBC

    Suy ra MBA = góc BAD ( so le trong ) (2)

 Từ (1) và (2) suy ra góc DAB = góc BDA

b/ có chưa C là sao tui ko hiểu