hình tự kẻ

tứ giác ADBH có:

D vuông (gt)

Góc HAD vuông ( AH vuông DE )

Góc HBD vuông ( BH vuông DF )

=> tứ giác ADBH là HCN

=> AB=DH; I là trung điểm của AB và DH ( tính chất hcn )

Ta có:

AB=DH (cmt)

I là trung điểm của AB và DH (cmt)

=> IH = IB 

Tam giác HIB có:

IH = IB (cmt)

=> tam giác HIB cân tại I

=> góc IHB = góc IBH (2 góc đáy trong tam giác cân )

a: góc MDH=90 độ-góc DMH

=90 độ-2*góc MDF

=90 độ-2*góc E

=góc F+góc E-2*góc E

=góc F-gócE

b: (EF+DH)^2-(DF+DE)^2

=EF^2+2*EF*DH+DH^2-DF^2-DE^2-2*DF*DE

=DH^2>0

=>EF+DH>DF+DE
=>EF-DE>DF-DH

a) Xét tam giác DEF vuông tại D 

=> DE²+DF²= EF² (định lí Py-ta-go)

=> 12²+16²= EF² 

=> 144 + 256 = EF²

EF² = 400 = 20²

=> EF = 20cm

Xét tam giác DEF vuông tại D có DI là trung tuyến ( I là trung điểm EF)

=> DI = 1/2 EF = 20/2 = 10cm

Vậy DI = 10cm

b) Vì tam giác DEF vuông tại D (gt)

=> ED ⊥ DF 

mà ED ⊥ IK (gt)

=> IK // DF 

Xét tam giác DEF vuông tại D có : I là trung điểm EF (gt)

                                                       IK // DF (cmt)

=> K là trung điểm ED

=> EK = KD = 1/2 ED

mà ED = 12cm

=> KD = 6cm 

Xét tam giác IKD vuông tại K có

KD² + KI² = DI²

=> 6² + KI² = 10²

KI² = 10²- 6² = 100-36=64 = 8²

=> KI = 8cm

Vậy KI = 8cm

a) Ta có: \(DN=\dfrac{DE}{2}\)(N là trung điểm của DE)

\(DM=\dfrac{DF}{2}\)(M là trung điểm của DF)

mà DE=DF(ΔDEF cân tại D)

nên DN=DM

Xét ΔDNH vuông tại H và ΔDMH vuông tại M có 

DN=DM(cmt)

DH chung

Do đó: ΔDNH=ΔDMH(Cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{NDH}=\widehat{MDH}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{EDH}=\widehat{FDH}\)

Xét ΔEDH và ΔFDH có 

DE=DF(ΔDEF cân tại D)

\(\widehat{EDH}=\widehat{FDH}\)(cmt)

DH chung

Do đó: ΔEDH=ΔFDH(c-g-c)

Suy ra: HE=HF(Hai cạnh tương ứng)

a: \(DE=\sqrt{15^2-12^2}=9\left(cm\right)\)

\(S_{DEF}=\dfrac{1}{2}\cdot9\cdot12=6\cdot9=54\left(cm^2\right)\)

b: Xét tứ giác DMHN có

góc DMH=góc DNH=góc MDN=90 độ

nên DMHN là hình chữ nhật

c: Xét tứ giác DHMK có

DK//MH

DK=MH

Do đó: DHMK là hình bình hành

a) Xét tam giác DEH và tam giác DFH ta có:

        DE = DF ( tam giác DEF cân tại D )

        DEH = DFH ( tam giác DEF cân tại D )

        EH = EF ( H là trung điểm của EF )

=> tam giác DEH = tam giác DFH ( c.g.c) (dpcm)

=> DHE=DHF(hai góc tương ứng)

Mà DHE+DHF=180 độ  =>DHE=DHF=180 độ / 2 = 90 độ ( góc vuông ) hay DH vuông góc với EF ( dpcm )

 b) Xét tam giác MEH và tam giac NFH ta có:

          EH=FH(theo a)

          MEH=NFH(theo a)

  => tam giác MEH = tam giác NFH ( ch-gn)

  => HM=HN ( 2 cạnh tương ứng ) hay tam giác HMN cân tại H ( dpcm )

c) Ta có : +) DM+ME=DE =>DM=DE-ME

                +) DN+NF=DF => DN=DF-NF

Mà DE=DF(theo a)   ;     ME=NF( theo b tam giác MEH=tam giác NFH)

=>DM=DN => tam giác DMN cân tại D 

Xét tam giac cân DMN ta có:

     DMN=DNM=180-MDN/2      (*)

Xét tam giác cân DEF ta có:

     DEF=DFE =180-MDN/2       (*)

Từ (*) và (*) Suy ra góc DMN = góc DEF

Mà DMN và DEF ở vị trí đồng vị

=> MN//EF (dpcm)

d) Xét tam giác DEK và tam giác DFK ta có:

        DK là cạnh chung

        DE=DF(theo a)

    => tam giác DEK= tam giác DFK(ch-cgv)

   =>DKE=DKF(2 góc tương ứng)

   =>DK là tia phân giác của góc EDF       (1)

Theo a tam giac DEH= tam giac DFH(c.g.c)

   =>EDH=FDH(2 góc tương ứng)

   =>DH là tia phân giác của góc EDF        (2)

Từ (1) và (2) Suy ra D,H,K thẳng hàng (dpcm)

a: \(EF=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

Xet ΔEDF có EK là phân giác

nên DK/DE=FK/FE

=>DK/3=FK/5=(DK+FK)/(3+5)=8/8=1

=>DK=3cm; FK=5cm

b: Xet ΔDEK vuông tại D và ΔHEI vuông tại H có

góc DEK=góc HEI

=>ΔDEK đồng dạng với ΔHEI

=>ED/EH=EK/EI

=>ED*EI=EK*EH

c: góc DKI=90 độ-góc KED

góc DIK=góc HIE=90 độ-góc KEF

mà góc KED=góc KEF
nên góc DKI=góc DIK

=>ΔDKI cân tại D

mà DG là trung tuyến

nên DG vuông góc IK