Đặt \(AB=a;AC=b;BC=a\) . Ta có : \(p=\dfrac{a+b+c}{2}=18\)

S = \(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=54\) \(=pr=18r\Rightarrow r=3\)  (cm) 

Ta có: AH ⊥ BC ⇒ HB = HC = BC/2 = 24/2 = 12(cm)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ACH ta có:

A C 2 = A H 2 + H C 2

Suy ra: A H 2 = A C 2 - H C 2 = 20 2 - 12 2  = 400 - 144 = 256

AH = 16 (cm)

Tam giác ACD vuông tại C nên theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

A C 2  = AH.AD ⇒ AD =  A C 2 /AH =  20 2 /16 = 25 (cm)

Vậy bán kính của đường tròn (O) là: R = AD/2 = 25/2 = 12,5 (cm)

Vẽ đường kính AD và AH⊥BC(H∈BC)AH⊥BC(H∈BC).

Ta có \(\widehat{ACD}\)ACD^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ⇒\(\widehat{ACD}\)=900⇒ACD^=900.

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ADC$ có:

\(\widehat{AHB}\)=\(\widehat{ACD}\)=900AHB^=ACD^=900;

ABH^=ADC^ \(\widehat{ABH}=\widehat{ADC}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC);

⇒ΔABH∼ΔADC(g.g)⇒AHAC=ABAD⇒515=82R⇒2R=24⇔R=12(cm)⇒ΔABH∼ΔADC(g.g)⇒AHAC=ABAD⇒515=82R⇒2R=24⇔R=12(cm)

Kẻ đường kính AD 
Xét tam giác AHB & tam giác ACD có :
góc AHB = góc ACD (=90)
góc ABC = góc ADC ( cùng chắn cung AC )
=> tam giác AHB đồng dạng với tam giác ACD ( g-g)
=> AH/AC=AB/AD
<=> 5/15=8/AD 
=>AD=8:1/3 = 24 (CM)
=>Bán kính đường tròn =24:2=12 (cm)

nữa chu vi tgABC là

(24+13+15)/2 = 24,5cm

áp dụng ct heron ta có diện tích tam giác ABC là

\(\sqrt{24,5\left(24,5-24\right)\left(24,5-13\right)\left(24,5-12\right)}\approx41,9635cm\)

ta có ct tính bk đg tròn nội tiếp

\(r=\dfrac{S}{p}\approx\dfrac{41,9635}{24.5}\approx1,7128cm\)