a:

Ta có: AD//BC

P\(\in\)AD

Do đó: AP//BC

Ta có:BA\(\perp\)AD

P\(\in\)AD

Do đó: BA\(\perp\)PD tại A

Xét ΔMAP vuông tại A và ΔMBC vuông tại B có

MA=MB

\(\widehat{AMP}=\widehat{BMC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMAP=ΔMBC

=>AP=BC

Xét tứ giác APBC có

AP//BC

AP=BC

Do đó: APBC là hình bình hành

Xét tứ giác BCDP có BC//DP

nên BCDP là hình thang

Hình thang BCDP có BC\(\perp\)CD

nên BCDP là hình thang vuông

b: Vì BCDP là hình thang vuông

nên \(S_{BCDP}=\dfrac{1}{2}\left(BC+DP\right)\cdot DC\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot DC\left(BC+DA+AP\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot DC\cdot\left(DC+DC+BC\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot DC\cdot\left(2DC+DC\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3DC^2=\dfrac{3}{2}\cdot DC^2\)

Vì AP=BC

mà BC=AD

nên AP=AD

=>A là trung điểm của PD

\(S_{BPAC}=S_{PAB}+S_{ABC}\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot AP\cdot AB+\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AB+\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AB=BC\cdot AB=AB^2=DC^2\)

=>\(S_{BCDP}=\dfrac{3}{2}\cdot S_{BPAC}\)

=>\(2\cdot S_{BCDP}=3\cdot S_{BPAC}\)

AM = MB = AB/2 (M là trung điểm của AB)

BN = NC = BC/2 (N là trung điểm của BC)

CK = KD = CD/2 (K là trung điểm của CD)

mà AB = BC = CD (ABCD là hình vuông)

=> AM = MB = BN = NC = CK = KD

Xét tam giác BMC và tam giác CND có:

MB = NC (chứng minh trên)

MBC = NCD (= 90⁰)

BC = CD (ABCD là hình vuông)

=> Tam giác BMC = Tam giác CND (c.g.c)

=> BMC = CND (2 góc tương ứng)

mà BMC + BCM = 90⁰ (tam giác BMC vuông tại B)

=> CND + BCM = 90⁰

=> CEN = 90⁰ (CND + BCM + CEN = 180⁰)

=> CM _I_ DN

mà AH _I_ DN

=> AH // CM (1)

AM // CK

AM = CK (chứng minh trên)

=> AMCK là hình bình hành

=> AK // CM (2)

Từ (1) và (2)

=> \(AH\equiv AK\)

=> A, H, K thẳng hàng

a: Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

BM=DN

Do đó: BMDN là hình bình hành

b: AM+MB=AB

CN+ND=CD

mà MB=ND và AB=CD

nên AM=CN

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

c: AMCN là hình bình hành

=>AN//CM

=>NK//MH

BMDN là hình bình hành

=>BN//DM

=>NH//KM

Xét tứ giác MKNH có

MK//NH

MH//NK

Do đó: MKNH là hình bình hành

ngu