chưa học trả lời làm gì cho mất thời gian mất công bạn Thanh Trang Hoàng phải đọc

- Gọi G là trọng tâm \(\Delta ABC\), trung tuyến BE cắt A'C tại E'.

- Gọi trung điểm B'C' là D'. BE và D'C là đường trung bình của \(\Delta CAB'\)và \(\Delta C'AB'\)

=> BE // D'C và BE = D'C 

Trung tuyến AD là đường trung bình của \(\Delta BCA'\Rightarrow GE'=BG=\frac{2}{3}\cdot BE=\frac{2}{3}\cdot D'C\) 

Gọi G' là giao của A'D' và BE' ta có:

Áp dụng định lí Talet:

\(\frac{G'E'}{D'C}=\frac{A'E'}{A'C}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}\) (AD // A'C do là đường trung bình của \(\Delta BA'C\)) 

\(\Rightarrow G'E'=\frac{2}{3}\cdot D'C\)

=> G'E' = GE'.

Do G và G' cùng nằm trên BE' và G, G' nằm cùng phía so với E' nên G và G' trùng nhau. 

Như vậy trung tuyến A'D' đi qua G, tương tự trung tuyến B'M' cũng đi qua G

=> G là trọng tâm của \(\Delta A'B'C'\)

"Nếu G là trọng tâm \(\Delta ABC\) thì vtGA + vtGB + vtGC = vt0"

Gọi giao của AG và BC là D. Trên AD kéo dài lấy E sao cho

DE = DG => GE = GA => vtGE = - vtGA.

Do GE và BC cắt nhau tại trung điểm D của chúng nên BGCE là hình bình hành

=> vtGB + vtGC = vtGE = -vtGA => vtGA + vtGB + vtGC = vt0

Gọi G là trọng tâm ABC, G' là trọng tâm \(\Delta A'B'C'\)

=> vtGA + vtGB + vtGC = vt0, vtG'A' + vtG'B' + vtG'C' = vt0

=> vt0 = (vtG'G + vtGA + vtAA') + (vtG'G + vtGB + vtBB') + (vtG'G + vtGC + vtCC')  

           =3vtG'G + (vtGA + vtGB + vtGC) + (vtBA + vtCB + vtAC)  
           =3vtG'G + vt0 + (vtBA + vtAC + vtCB) = 3vtG'G + vt0

=> vtG'G = vt0 

=> G' trùng với G

Gọi M và M’ tương ứng là trung điểm của AC và A’C’, ta có:

I ∈ BM, G ∈ C′M, K ∈ B′M′

Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có:

Ta có :

Mặt khác IG và IK ⊂ (IGK) nên (IGK) // (BB′C′C)

b) Gọi E và F tương ứng là trung điểm của BC và B’C’, O là trung điểm của A’C. A, I, E thẳng hàng nên (AIB’) chính là (AEB’). A’, G, C thẳng hàng nên (A’GK) chính là (A’CF).

Ta có B′E // CF (do B’FCE là hình bình hành ) và AE // A′F nên (AIB′) // (A′GK).

Giả sử G là trọng tâm tam giác ABC, ta sẽ chứng minh G' cũng là trọng tâm tam giác A'B'C'.
G là trọng tâm tam giác ABC nên: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ta cần chứng minh: \(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}\).
Theo giả thiết:
\(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}+\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}-\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}\)
Vậy G là trọng tâm tam giác A'B'C' hay hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.

Ta có:

\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)

Mà \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'C'}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}.3.\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GG'}\)