a) \(A=\sqrt[]{x^2-2x+5}\)

\(\Leftrightarrow A=\sqrt[]{x^2-2x+1+4}\)

\(\Leftrightarrow A=\sqrt[]{\left(x+1\right)^2+4}\)

mà \(\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in R\)

\(A=\sqrt[]{\left(x+1\right)^2+4}\ge\sqrt[]{4}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy \(GTNN\left(A\right)=2\left(khi.x=-1\right)\)

b) \(B=5-\sqrt[]{x^2-6x+14}\)

\(\Leftrightarrow B=5-\sqrt[]{x^2-6x+9+5}\)

\(\Leftrightarrow B=5-\sqrt[]{\left(x-3\right)^2+5}\left(1\right)\)

Ta có : \(\left(x-3\right)^2\ge0,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+5\ge5,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[]{\left(x-3\right)^2+5}\ge\sqrt[]{5},\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt[]{\left(x-3\right)^2+5}\le-\sqrt[]{5},\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow B=5-\sqrt[]{\left(x-3\right)^2+5}\le5-\sqrt[]{5},\forall x\in R\)

Dấu "=" xả ra khi và chỉ khi \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\)

Vậy \(GTLN\left(B\right)=5-\sqrt[]{5}\left(khi.x=3\right)\)

\(x^2-2x+5=x^2-2x+1+4=\left(x-1\right)^2+4\ge4\)

\(\sqrt{\left(x-1\right)^2+4}\ge2\)

\(\sqrt{x^2-2x+5}\ge2\)

\(B=\frac{3}{\left(2x-1\right)^2+4}\le\frac{3}{4}\Rightarrow B_{max}=\frac{3}{4}\) khi \(2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

2/ Xem lại đề bài, đề bài này thì ko có max, 12 ở mẫu là dấu + thì may ra làm được

1, B=\(\frac{3}{4x^2-4x+5}\)

=\(\frac{3}{\left(4x^2-2.2x+4\right)+5-4}\)

=\(\frac{3}{\left(2x-2\right)^2+1}\le\frac{3}{1}=3\)

Để B=3 thì : (2x-2)²=0

\(\Leftrightarrow2x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy Max B =3 \(\Leftrightarrow x=1\)

Không chắc lắm nha! Phần BĐT phụ mình có đc là nhờ sách nâng cao nên ms làm đc thôi!

Ta c/m BĐT phụ: \(\left|\sqrt{f^2+g^2}-\sqrt{h^2+k^2}\right|\le\sqrt{\left(f-h\right)^2+\left(g-k\right)^2}\) với f - h;g-k là hằng số. (1)

Bình phương hai vế,ta có: \(BĐT\Leftrightarrow f^2+g^2+h^2+k^2-2\sqrt{\left(f^2+g^2\right)\left(h^2+k^2\right)}\le f^2+h^2-2fh+g^2+k^2-2gk\)

\(\Leftrightarrow fh+gh\le\sqrt{\left(f^2+g^2\right)\left(h^2+k^2\right)}\) (2)

Nếu fh + gh < 0 thì (2) đúng

Nếu fh + gh >= 0 thì \(\left(2\right)\Leftrightarrow f^2h^2+g^2k^2+2fhgi\le f^2h^2+f^2k^2+g^2h^2+g^2k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(fk-gh\right)^2\ge0\)(đúng)

Dấu "=" xảy ra fk = gh và fh + gk >= 0 (trích chứng minh BĐT ở sách 9 chuyên đề đại số THCS_ Vũ Hữu Bình)

Quay lại bài toán,ta có: \(P=\left|\sqrt{\left(x-2\right)^2+1^2}-\sqrt{\left(x+3\right)^2+2^2}\right|\)

\(\le\sqrt{\left(-5\right)^2+\left(1-2\right)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\)

Dấu "=" xảy ra khi 2(x-2) = 1(x+3) và (x-2)(x+3) + 1(x+3) >=0

Tức là x = 7 (t/m)

GTLN là 0
<=> x=3

\(A=5-\sqrt{x^2-6x+14}\)

   \(=5-\sqrt{\left(x^2-6x+9\right)+5}\)

  \(=5-\sqrt{\left(x-3\right)^2+5}\le5-\sqrt{5}\)

Dấu "=" <=> x-3=0

             <=> x=3

Vậy ....