Ta có : \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ

\(\sqrt{3}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ ( đpcm ) 

b) tương tự :

 \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}vôti\\\sqrt{3}vôti\\\sqrt{5}vôti\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\)vô tỉ

c) \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ nên \(1+\sqrt{2}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số vô tỉ

d) \(\sqrt{3}\)là số vô tỉ\(\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow m+\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ

phản chứng : giả sử tất cả thuộc Q a đặt a= căn 2+ căn 3(a thuộc Q) . bình phương 2 vế ta có a^2=5+2 căn 6=> căn 6 = a^2-5/2 thuộc Q => vô lí

b đặt căn 2 + căn 3 + căn 5 = a. chuyển căn 5 sang vế a bình phương lên ta có 2 căn 6=a^2-2 căn 5 a

bình phương 1 lần nữa =>căn 5= a^4+20a^2-24/4a^3 thuộc Q => vô lí

c bình phương lên => căn 2=A-1 thuộc Q => vô lí

d tương tự căn 3=Bn-mn thuộc Q => vô lí

chúc bạn học tốt

Giả sử \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}=x\left(x\in Q\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=x^2\\ \Leftrightarrow11+4\sqrt{6}=x^2\\ \Leftrightarrow\sqrt{6}=\dfrac{x^2-11}{4}\)

Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{x^2-11}{4}\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\) \(x^2\) là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)

Vậy \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\) là số vô tỉ

Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=x\left(x\in Q\right)\)  

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2=x^2\\ \Rightarrow5-2\sqrt{6}=x^2\\ \Rightarrow\sqrt{6}=\dfrac{5-x^2}{2}\)

Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{5-x^2}{2}\Rightarrow\) \(x^2\)là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)

Vậy \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số vô tỉ

Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số hữu tỉ

nên \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\left(q\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{p^2}{q^2}=5-2\sqrt{6}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{p^2}{q^2}-5=-2\sqrt{6}\)(vô lý)

Vậy: \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số vô tỉ

Link : Chứng minh rằng căn2 +căn3 là số vô tỉ 

a. Giả sử \(\sqrt{3}\) không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho √3 = a/b với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Ta có: (√3 )2 = (a/b )2 hay a2 = 3b2 (1)

Kết quả trên chứng tỏ a chia hết cho 3, nghĩa là ta có a = 3c với c là số nguyên.

Thay a = 3c vào (1) ta được: (3c)2 = 3b2 hay b2 = 3c2

Kết quả trên chứng tỏ b chia hết cho 3.

Hai số a và b đều chia hết cho 3, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Vậy √3 là số vô tỉ.

b. * Giả sử 5√2 là số hữu tỉ a, nghĩa là: 5√2 = a

Suy ra: √2 = a / 5 hay √2 là số hữu tỉ.

Điều này vô lí vì √2 là số vô tỉ.

Vậy 5√2 là số vô tỉ.

* Giả sử 3 + √2 là số hữu tỉ b, nghĩa là:

3 + √2 = b

Suy ra: √2 = b - 3 hay √2 là số hữu tỉ.

Điều này vô lí vì √2 là số vô tỉ.

Vậy 3 + √2 là số vô tỉ.

Giả sử căn 3 không phải số vô tỉ suy ra:

tồn tại số m và n  sao cho căn 3 = m/n   (m,n là nguyên tố cùng nhau)

khi đó  3n^2 = m^2

=> m chia hết 3, đặt m=3p ( p là số nguyên)

thay m = 3p ta có

3n^2 = 9p^2

n^2 = 3p^2

=> n chia hết cho 3

=> m và n cùng chia hết cho 3

mâu thuẫn với giả thiết ban đầu , m/n tối giản , m,n là nguyên tố cùng nhau

=> căn 3 là số vô tỉ

Nào , cop đi , cop đi 

HT

:)))))))))))

@@@@@@@@@@@

 ) Giả sử √2 là số hữu tỉ nên suy ra : √2=ab ( a ; b ∈

 N* ) ; ( a ; b ) = 1

⟹

 b√2=a

⟹

 b2.2=a2

⟹

 a2 chia hết cho 2 ; mà 2

 là số nguyên tố 

⟹

 a chia hết cho 2

⟹

 a2 chia hết cho 4

⟹

  b2.2 chia hết cho 4

⟹

 b2 chia hết cho 2 ; mà 2 là số nguyên tố nên suy ra b chia hết cho 2

⟹

 (a;b)=2 mâu thuẫn với (a;b)=1

⟹

 Điều giả sử sai

⟹

 √2 là số vô tỉ) Giả sử √2 là số hữu tỉ nên suy ra : √2=ab ( a ; b ∈

 N* ) ; ( a ; b ) = 1

⟹

 b√2=a

⟹

 b2.2=a2

⟹

 a2 chia hết cho 2 ; mà 2

 là số nguyên tố 

⟹

 a chia hết cho 2

⟹

 a2 chia hết cho 4

⟹

  b2.2 chia hết cho 4

⟹

 b2 chia hết cho 2 ; mà 2 là số nguyên tố nên suy ra b chia hết cho 2

⟹

 (a;b)=2 mâu thuẫn với (a;b)=1

⟹

 Điều giả sử sai

⟹

 √2 là số vô tỉ

????????????

Mọi số n không là số chính phương thì \(\sqrt{n}\)là số vô tỉ nên

\(\sqrt{2}\)và \(\sqrt{3}\)là số vô tỉ

Suy ra \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ

Đặt \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

Giả sử x là số hữu tỉ , nghĩa là \(x=\frac{p}{q}\left(p,q\in N,q\ne0\right)\)

Ta có : \(\frac{p}{q}=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{p^2}{q^2}=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{p^2}{q^2}-5=2\sqrt{6}\) ( vô lí )

Vì \(\frac{p^2}{q^2}\) là số hữu tỉ và \(2\sqrt{6}\) là số vô tỉ

Vậy \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) không phải là số hữu tỉ 

\(\Rightarrow x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) lá số vô tỉ

Chúc bạn học tốt !!!