a: \(\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{BH^2}{AB}:\dfrac{CH^2}{AC}=\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{CH^2}\)

\(=\left(\dfrac{BH}{CH}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^4}{AC^4}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

b: \(BC\cdot BE\cdot CF=BC\cdot\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{CH^2}{AC}\)

\(=\dfrac{BC}{AB\cdot AC}\cdot AH^4=\dfrac{BC}{BC\cdot AH}\cdot AH^4=AH^3\)

câu b bạn tham khảo ở đây

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-tam-giac-abc-vuong-tai-a-duong-cao-ah-goi-ef-theo-thu-tu-la-hinh-chieu-cua-h-tren-ab-aca-chung-minh-bcabcdot-sincaccdot-coscb-chung-minh-afcdot-ac2efcdot-bccdot-aecchung-minh.1076798870119

a) \(HF\parallel AB\) \(\Rightarrow\dfrac{HF}{AB}=\dfrac{CF}{CA}\Rightarrow\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{AB}{AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{HF}{CF}.\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\Rightarrow\dfrac{HF}{CF}.\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{HF.BH}{CF.CH}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\Rightarrow\dfrac{HF.BH}{CH}.\dfrac{1}{CF}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\left(1\right)\)

Ta có: \(HF\parallel AB\)\(\Rightarrow\angle CHF=\angle CBA\)

Xét \(\Delta BEH\) và \(\Delta HFC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BEH=\angle HFC=90\\\angle CHF=\angle CBA\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BEH\sim\Delta HFC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{BE}{BH}=\dfrac{HF}{HC}\Rightarrow BE.HC=HF.BH\)

\(\Rightarrow BE=\dfrac{HF.BH}{HC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)

dsfger

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AH^2=HB\cdot HC\left(1\right)\)

Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AH^2=AE\cdot AB\left(2\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AH^2=AF\cdot AC\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC=BH\cdot HC\)

a, Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu lên cạnh huyền và cạnh huyền trong tam giác vuông HBA và HCA

b, Tương tự a) và áp dụng hệ thức giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền trong tam giác vuông ABC