a: Xét tứ giác ABOC có

góc OBA+góc OCA=180 độ

=>ABOC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔABE và ΔAFB có

góc ABE=góc AFB

góc BAE chung

=>ΔABE đồng dạng với ΔAFB

=>AB/AF=AE/AB

=>AB^2=AF*AE

a.  Ta có: \(\Lambda\)ABO=90 ( do AB là tiếp tuyến của (O))
                \(\Lambda\)ACO=90 ( do AC là tiếp tuyến của (O))
     \(\Rightarrow\) \(\Lambda\)ABO + \(\Lambda\)ACO = 90 + 90 = 180.

     Suy ra: tứ giác ABOC nội tiếp.

b.  Ta có: AB,AC lần lượt là tiếp tuyến của (O) nên AB=AC.

     \(\Rightarrow\)\(\Delta\)ABC cân tại A lại có AH là tia phân giác nên AH cũng là đường cao

     \(\Rightarrow\)AO\(\perp\)BC tại H.

     Áp dụng đinh lý Py-ta-go vào \(\Delta\)ABO ta có:

         AO² = AB² + BO² = 4² + 3² = 25

     \(\Rightarrow\)AO = 5 (cm).

     Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABO ta được:

         AB² = AH.AO \(\Rightarrow\) AH = \(\dfrac{AB^2}{AO}\)=\(\dfrac{16}{5}\)(cm)

c.  Ta có: \(\Lambda\)ACE=\(\Lambda\)ADC ( tính chất của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung )

     Xét \(\Delta\)ACE và \(\Delta\)ADC có:

     \(\Lambda ACE=\Lambda ADC\) 

     \(\Lambda\)CAD chung

     Do đó: \(\Delta ACE\sim\Delta ADC\) \(\Rightarrow\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{AE}{AC}\) \(\Rightarrow\)AC² = AD.AE (1)

     Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ACO có:

                    AC² = AH.AO (2)

    Từ (1) và (2) ,suy ra: AD.AE = AH.AO.

a)Ta có:\(\widehat{ABO};\widehat{ACO}\) lần lượt là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{ABO=}\widehat{ACO}=90^{ }\)

\(\Rightarrow\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90+90=180\)

Mà hai góc này đối nhau nên tứ giác ABOC nội tiếb)

b)Theo a) ta có:\(\widehat{ABO}=90\)⇒▲ABO là tam giác vuông tại B đường cao AH.

Áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông ABO đường cao AH ta có:

\(AO^2=AB^2+BO^2=4^2+3^2=25\)

\(\Rightarrow\sqrt{AO}=5\) cm.

Áp dụng hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao trong ▲vuông ABO ta có:

\(AB^2=AH\cdot AO\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB^2^{ }}{AO}=\dfrac{4^2^{ }}{5}=\dfrac{16}{5}\)

a) Xét tứ giác ABOC có 

\(\widehat{ABO}\) và \(\widehat{ACO}\) là hai góc đối

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\)

Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a) Xét tứ giác ABOC có 

\(\widehat{ABO}\) và \(\widehat{ACO}\) là hai góc đối

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét (O) có 

\(\widehat{BDE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

\(\widehat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE

Do đó: \(\widehat{BDE}=\widehat{ABE}\)(Hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

hay \(\widehat{ADB}=\widehat{ABE}\)

Xét ΔADB và ΔABE có 

\(\widehat{ADB}=\widehat{ABE}\)(cmt)

\(\widehat{BAD}\) chung

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔABE(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AE}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=AE\cdot AD\)(đpcm)

a: góc ABO+góc ACO=180 độ

=>ABOC nội tiếp

b: Xét ΔABE và ΔADB có

góc ABE=góc ADB

góc BAE chung

=>ΔABE đồng dạng với ΔADB

=>AB^2=AE*AD

a) Ta có: \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^o\)

=> OBAC nội tiếp

b) Xét tam giác AEB và tam giác ABD

    Có: \(\widehat{BAD}\)chung

          \(\widehat{ADB}=\widehat{ABE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BE}\)

=> Tam giác AEB đồng dạng tam giác ABD (g.g)

=> \(\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AD}\)=>AB²=AE.AD (đpcm)

c) Kẽ BE cắt AC tại S

          CE cắt AB tại P

    Ta có:\(\hept{\begin{cases}\widehat{BEP}=\widehat{CES}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}\\\widehat{AEP}=\widehat{CED}=\frac{1}{2}sđ\widebat{CD}\end{cases}}\)(1)

Mặt khác: \(\hept{\begin{cases}\widehat{BDC}=\widehat{BCA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}\\\widehat{DBC}=\widehat{BCA}\left(slt\right)\end{cases}}\)

=> \(\widehat{BDC}=\widehat{DBC}\)

=> Tam giác BDC cân tại C

=> CD=BC 

=> \(\widebat{CD}=\widebat{BC}\)(2)

Từ (1),(2) => \(\widehat{BEP}=\widehat{AEP}\)

=> Tia đổi của tia EC là tia phân giác của góc BEA