Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
thục khuê nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Nhâm
Xem chi tiết
Nguyễn Tuấn Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 6 2021 lúc 15:11

\(\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)

Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}\right)\) ; \(\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+b}\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Khanh7c5 Hung
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
31 tháng 1 2021 lúc 15:32

\(P\le a^2+b^2+c^2+3\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)

\(P_{max}=12\) khi \(a=b=c=1\)

Lại có: \(\left(a+b+c\right)^2=3+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)

\(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)

\(\Rightarrow\sqrt{3}\le a+b+c\le3\)

\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}+3\left(a+b+c\right)\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\)

Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow\sqrt{3}\le x\le3\)

\(P=\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+6+\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}\ge3\sqrt{3}\)

\(P_{min}=3\sqrt{3}\) khi \(x=\sqrt{3}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và hoán vị

VAN NGOC LE NA
22 tháng 6 2021 lúc 9:45

thế bạn bt hok

Khách vãng lai đã xóa
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Cao Minh Tâm
21 tháng 9 2019 lúc 16:38

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:

a 2 + b 2 ≥ 2 a b ,   b 2 + c 2 ≥ 2 b c ,   c 2 + a 2 ≥ 2 c a  

Do đó:  2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 ( a b + b c + c a ) = 2.9 = 18 ⇒ 2 P ≥ 18 ⇒ P ≥ 9

Dấu bằng xảy ra khi  a = b = c = 3 . Vậy MinP= 9 khi  a = b = c = 3

Vì  a ,   b ,   c   ≥ 1 , nên  ( a − 1 ) ( b − 1 ) ≥ 0 ⇔ a b − a − b + 1 ≥ 0 ⇔ a b + 1 ≥ a + b

Tương tự ta có  b c + 1 ≥ b + c ,   c a + 1 ≥ c + a  

Do đó  a b + b c + c a + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) ⇔ a + b + c ≤ 9 + 3 2 = 6

Mà   P = a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c 2 − 2 a b + b c + c a = a + b + c 2 – 18

⇒ P ≤ 36 − 18 = 18 . Dấu bằng xảy ra khi :  a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1

Vậy maxP= 18 khi :  a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1

truong phuong
Xem chi tiết
Lê Minh Đức
Xem chi tiết
Nyatmax
4 tháng 1 2020 lúc 20:53

Dat \(\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow xyz=1\)

\(\Sigma_{cyc}\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+1}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{x+y+1}\)

We need to prove:

\(\Sigma_{cyc}\frac{1}{x+y+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{x+y}{x+y+1}\ge2\left(M\right)\)

We have:

\(VT_M\ge\frac{\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{x+y}\right)^2}{2\Sigma_{cyc}x+3}\)

Now we need to prove

\(\frac{\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{x+y}\right)^2}{2\Sigma_{cyc}x+3}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\Sigma_{cyc}x+3\left(M_1\right)\)

Consider:

\(VT_{M_1}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge x+y+z+xy+yz+zx\)

Now we need to prove:

\(x+y+z+xy+yz+zx\ge x+y+z+3\)

\(xy+yz+zx\ge3\) (Not fail with xyz=1)

Dau '=' xay ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c=1\\x=y=z=1\end{cases}}\)

Khách vãng lai đã xóa
Lê Tuấn Nghĩa
5 tháng 1 2020 lúc 21:09

Mấy cái kí hiệu kia là gì v bạn 

Khách vãng lai đã xóa
Ngọc Hà
Xem chi tiết
kevin
11 tháng 5 2023 lúc 14:01

Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng phương pháp điều chỉnh biểu thức P để biểu thức này có thể được phân tích thành tổng của các biểu thức có dạng a(x-y)+b(y-z)+c(z-x), trong đó x,y,z là các số thực không âm. Khi đó, ta có:

P = ab + bc - ca = a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = a(-c+b) + b(c-a) + c(-b+a) = a(x-y) + b(y-z) + c(z-x), với x = -c+b, y = c-a và z = -b+a

Do đó, để tìm giá trị lớn nhất của P, ta cần tìm các giá trị lớn nhất của x, y, z. Ta có:

x = -c+b ≤ b, vì c ≥ 0 y = c-a ≤ c ≤ 2022, vì a+b+c = 2022 z = -b+a ≤ a, vì b ≥ 0

Vậy giá trị lớn nhất của P là:

P_max = ab + bc - ca ≤ b(2022-a) + 2022a = 2022b

Tương tự, để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm các giá trị nhỏ nhất của x, y, z. Ta có:

x = -c+b ≥ -2022, vì b ≤ 2022 y = c-a ≥ 0, vì c ≤ 2022 và a ≥ 0 z = -b+a ≥ -2022, vì a ≤ 2022

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là:

P_min = ab + bc - ca ≥ (-2022)a + 0b + (-2022)c = -2022(a+c)

Do đó, giá trị lớn nhất của P là 2022b và giá trị nhỏ nhất của P là -2022(a+c).

Asuna Yuuki
Xem chi tiết
Asuna Yuuki
16 tháng 4 2020 lúc 13:02

Làm ơn giải giúp mình với ạ !

Khách vãng lai đã xóa
Chanh
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Lộc
9 tháng 2 2021 lúc 15:56

Ta có : \(P=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow P+2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow P+2=\left(a+b+c\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge-2\)

Vậy MinP = -2 tại a + b + c = 0 .

Hồng Phúc
9 tháng 2 2021 lúc 22:49

Dễ thấy:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow P\ge ab+bc+ca=1\)

\(minP=1\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Hồng Phúc
9 tháng 2 2021 lúc 22:51

Cách khác:

Áp dụng BĐT BSC:

\(ab+bc+ca=1\)

\(\Rightarrow1=\left(ab+bc+ca\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=P^2\)

\(\Rightarrow P\ge1\left(\text{Do }P>0\right)\)

\(minP=1\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)