có: 2(x-3)^2 >hoặc = 0 với mọi x

suy ra: 2(x-3)^2+5 >hoặc = 5 với mọi x

suy ra: P(x) > 0 với mọi x

suy ra: đa thức không có nghiệm (đpcm)

giả sử 

=> P(x)=2(x-3)^2+5=0

=> 2(x-3)^2=-5

=> (x-3)^2=-2.5

vì (x-3)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 nên x ko tồn tại

=> đa thức trên vô nghiệm

giả sử

=> P(x)= 2(x-3)^2+5=0

=> 2(x3)^2 = -5

Vì (x-3)^2 lướn hơn ..........

=> đa thức trên vô nhiệm

Lời giải:
Giả sử $P(x)$ có nghiệm $a$ nguyên. Khi đó:

$a^3-3a+5=0$

$\Leftrightarrow a(a^2-3)=-5$

Khi đó ta xét các TH sau:

TH1: $a=1; a^2-3=-5$

$\Leftrightarrow a=1$ và $a^2=2$ (vô lý)

TH2: $a=-1; a^2-3=5$

$\Leftrightarrow a=-1; a^2=8$ (vô lý)

TH3: $a=5; a^2-3=-1$

$\Leftrightarrow a=5$ và $a^2=2$ (vô lý)

TH4: $a=-5; a^2-3=1$

$\Leftrightarrow a=-5$ và $a^2=4$ (vô lý)

Vậy điều giả sử là sai, tức $P(x)$ không có nghiệm nguyên.

\(P\left(x\right)=x^3-x+5=0\)

\(x^3-x=-5\)

\(x.\left(x^2-1\right)=-5\)

Lập bảng ( vì đề nhủ c/m nghiệm nguyên)

Loại cả 4 cái

vậy...

Ta có : P( x ) = x³ - x + 5 

                     = x ( x² - 1 ) + 5

                     = x ( x - 1 ) ( x + 1 ) + 5 

Gọi P( x ) có nghiệm nguyên là : x = a 

\( \implies\)P( a ) = a ( a - 1 ) ( a + 1 ) + 5 = 0

\( \implies\)  a ( a - 1 ) ( a + 1 ) = - 5

Vì a là số nguyên \( \implies\)  a ; ( a - 1 ) ; ( a + 1 ) là ba số nguyên liên tiếp . Do đó chúng chia hết cho 2 

Mà - 5 không chia hết cho 2

\( \implies\)  a ( a - 1 ) ( a + 1 ) không thể bằng - 5 

\( \implies\) Không có giá trị a nguyên nào thỏa mãn P( a ) = 0

Vậy đa thức P( x ) =  x³ - x + 5 không có nghiệm nguyên ( đpcm )

a) Cho \(A\left(x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3x-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)

Vậy \(\frac{1}{3}\)là nghiệm của đa thức

b) Đề sai, vì đa thức trên có nghiệm!

a/ \(M\left(x\right)=-x^2+5\)

Có \(-x^2\le0\forall x\)

=> \(M\left(x\right)\le5\forall x\)

=> M(x) không có nghiệm.

2/

Thay \(x=\dfrac{1}{2}\) vào đa thức M(x) có

\(M\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}a+\dfrac{5}{2}-3=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}a=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a=2\)

Vậy...

Gọi f( x ) có nghiệm nguyên là : x = a 

\( \implies\)f( a ) = a ( a - 1 ) ( a + 1 ) + 5 = 0

\( \implies\)  a ( a - 1 ) ( a + 1 ) = - 5

Vì a là số nguyên \( \implies\)  a ; ( a - 1 ) ; ( a + 1 ) là ba số nguyên liên tiếp . Do đó chúng chia hết cho 2 

Mà - 5 không chia hết cho 2

\( \implies\)  a ( a - 1 ) ( a + 1 ) không thể bằng - 5 

\( \implies\) Không có giá trị a nguyên nào thỏa mãn P( a ) = 0

Vậy đa thức f( x ) =  x³ - x + 5 không có nghiệm nguyên 

Ta có: \(\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow2.\left(x-3\right)^2+5\ge5\forall x\)

Vậy đa  thức trên ko có nghiệm

a ngược là gì vậy

a ngược là sao ?? 

\(x^4+x^3+x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^3+\frac{x^2}{4}+\frac{3x^2}{4}+x+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}x}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\frac{2}{3}\)

Ta thấy:\(x^2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}x}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\frac{2}{3}>0\)với mọi x

=>vô nghiệm

\(x^4+x^3+x^2+x+1=x^4+\left(x^3+x^2\right)+\left(x+1\right)\)

\(=x^4+x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)\)

\(=x^4+\left(x+1\right)^2\)

\(x^4\ge0\)

\(\left(x+1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^4+\left(x+1\right)^2\ge0\)

Giả sử đa thức \(x^4+x^3+x^2+x+1=0\)(có nghiệm )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^4=0\\\left(x+1\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)(vô lý vì x không thể nhận 2 giá trị cùng 1 lúc)

Do đó \(x^4+x^3+x^2+x+1\) không nghiệm.

Trần Thùy Dung:phân tích sai lòi mắt