Cho các số dương a,b,c thỏa mãn 1/a + 2/b + 3/c = 6. CMR: a+b^2+c^3>=3
Những câu hỏi liên quan
Bất đẳng thức Bunhiacopxki
B1: Cho a,b,c thỏa mãn: a+b+c=1. CMR: \(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\)
B2: Cho a,b,c dương thỏa mãn: \(a^2+4b^2+9c^2=2015\). CMR: \(a+b+c\le\dfrac{\sqrt{14}}{6}\)
B3: Cho a,b dương thỏa mãn: \(a^2+b^2=1\).CMR: \(a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\le\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 1$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Đúng 2
Bình luận (0)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+4b^2+9c^2)(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9})\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 2015.\frac{49}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow \frac{98735}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{7\sqrt{2015}}{6}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{14}}{6}$ :''>>
Đúng 2
Bình luận (0)
Bài 3:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$2=(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}$
$(a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b})^2\leq (a^2+b^2)(1+a+1+b)$
$=2+a+b\leq 2+\sqrt{2}$
$\Rightarrow a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Đúng 2
Bình luận (0)
cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 CMR (a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)>=100/3
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. CMR: \(\dfrac{1}{2+a^2b}+\dfrac{1}{2+b^2c}+\dfrac{1}{2+c^2a}\) ≥ 1
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc =1 .CMR
\(\dfrac{3+a}{\left(1+a\right)^2}+\dfrac{3+b}{\left(1+b\right)^2}+\dfrac{3+c}{\left(1+c\right)^2}\ge3\)
Bài này đã có ở đây:
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc =1 .CMR
\(\dfrac{3+a}{\left(1+a\right)^2}+\dfrac{3+b}{\left(1+b\right)^2}+\dfrac{3+c}{\left(1+c\right)^2}\ge3\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1 CMR:
\(\dfrac{3+a}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{3+b}{\left(1+b\right)^2}+\dfrac{3+c}{\left(1+c\right)^2}\ge3\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR
\(5\left(a^2+b^2+c^2\right)\le6\left(a^3+b^3+c^3\right)+1\)
Đặt \(p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc\)
Khi đó p = 1 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: \(5\left(p^2-2q\right)\le6\left(p^3-3pq+3r\right)+1\)
hay \(5-10q\le6\left(1-3q+3r\right)+1\Leftrightarrow18r-8q+2\ge0\)(*). Đúng theo BĐT Schur với p = 1 vì:
(*)\(\Leftrightarrow9r-4q+1\ge0\Leftrightarrow p^3+9r\ge4pq\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
a) CHO 3 SỐ DƯƠNG a , b , c THỎA MÃN abc=1 . CMR: (a+b)(b+c)(c+a)>= 2(1+a+b+c)
b) CHO m,n LÀ 2 SỐ NGUYÊN DƯƠNG THỎA MÃN: m^2+n^2+2018 CHIA HẾT CHO mn. CMR m,n LÀ 2 SỐ LẺ VÀ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
m.n/(m^2+n^2 ) và m.n/2018
- Đặt (m,n)=d => m= da;n=db ; (a,b)=1
=> d^2(a^2+b^2)/(d^2(ab)) = (a^2+b^2)/(ab) => b/a ; a/b => a=b=> m=n=> ( 2n^2+2018)/n^2 =2 + 2018/n^2 => n^2/2018
=> m=n=1 ; lẻ và nguyên tố cùng nhau. vì d=1
Đúng 0
Bình luận (0)
Vẽ SH _I_ (ABCD) => H là trung điểm AD => CD _I_ (SAD)
Vẽ HK _I_ SD ( K thuộc SD) => CD _I_ HK => HK _I_ (SCD)
Vẽ AE _I_ SD ( E thuộc SD).
Ta có S(ABCD) = 2a² => SH = 3V(S.ABCD)/S(ABCD) = 3(4a³/3)/(2a²) = 2a
1/HK² = 1/SH² + 1/DH² = 1/4a² + 1/(a²/2) = 9/4a² => HK = 2a/3
Do AB//CD => AB//(SCD) => khoảng cách từ B đến (SCD) = khoảng cách từ A đến (SCD) = AE = 2HK = 4a/3
Đúng 0
Bình luận (0)
cho các số thực a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3. CMR \(\frac{3+a^2}{b+c}\)+ \(\frac{3+b^2}{c+a}\)+\(\frac{3+c^2}{a+b}\)>=6
Bài làm:
Ta có: \(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}\)
\(=\frac{3}{b+c}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{3}{c+a}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{3}{a+b}+\frac{c^2}{a+b}\)
\(=3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwars ta được:
\(VT\ge3.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}\)
\(=3.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{3^2}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(=3.\frac{9}{2.3}+\frac{9}{2.3}=\frac{9}{2}+\frac{9}{6}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)