\(x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0\left(1\right)\)

a, \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m=m^2+>0\forall m\)

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt 

b, Để phương trình có hai nghiệm cùng dương thì : 

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+1>0\left(luôn-đúng\right)\\2\left(m+1\right)>0\\2m>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m>0\)

c, Theo viét \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\left(2\right)\\x_1x_2=2m\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Trừ vế theo vế (2) cho (3) được : \(x_1+x_2-x_1x_2=2m+2-2m=2\)

Kết luận ....

a. Bạn tự giải

b.

\(\Delta=\left(m+2\right)^2-8m=\left(m-2\right)^2\ge0\Rightarrow\) pt có 2 nghiệm pb khi \(m\ne2\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)

Do \(x_2\) là nghiệm của pt \(\Rightarrow x_2^2-\left(m+2\right)x_2+2m=0\Rightarrow x_2^2=\left(m+2\right)x_2-2m\)

Thế vào bài toán:

\(\left(m+2\right)x_1+\left(m+2\right)x_2-2m\le3\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(x_1+x_2\right)-2m\le3\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-2m\le3\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow m=-1\)

a) Xét pt \(x^2-\left(2m-3\right)x+m^2-3m=0\)

Ta có \(\Delta=\left[-\left(2m-3\right)^2\right]-4.1\left(m^2-3m\right)\)\(=4m^2-12m+9-4m^2+12m\)\(=9>0\)

Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Câu b mình nhìn không rõ đề, bạn sửa lại nhé.

a, Thay m = -1 vào phương trình trên ta được 

\(x^2+4x-5=0\)

Ta có : \(\Delta=16+20=36\)

\(x_1=\frac{-4-6}{2}=-5;x_2=\frac{-4+6}{2}=1\)

Vậy với m = -1 thì x = -5 ; x = 1 

b, Vì x = 2 là nghiệm của phương trình trên nên thay x = 2 vào phương trình trên ta được : 

\(4+8+3m-2=0\Leftrightarrow3m=-10\Leftrightarrow m=-\frac{10}{3}\)

Vậy với x = 2 thì m = -10/3 

c, Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)hay 

\(16-4\left(3m-2\right)=16-12m+8=4m+8>0\)

\(\Leftrightarrow8>-4m\Leftrightarrow m>-2\)

Theo Vi et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-4\\x_1x_2=\frac{c}{a}=3m-2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2=-4\Leftrightarrow x_1=-4-x_2\)(1) 

suy ra : \(-4-x_2+2x_2=1\Leftrightarrow-4+x_2=1\Leftrightarrow x_2=5\)

Thay vào (1) ta được : \(x_1=-4-5=-9\)

Mà \(x_1x_2=3m-2\Rightarrow3m-2=-45\Leftrightarrow3m=-43\Leftrightarrow m=-\frac{43}{3}\)

a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu là :

\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta phẩy>0\\x_1.x_2< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m^2+4m+4-m^2+3m>0\\\dfrac{m-3}{m}< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow0< m< 3\)

b) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì : \(\Delta\) phẩy  > 0

\(\Rightarrow m< 4\)

Ta có : \(\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=2\) 

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=2x_1^2.x_2^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2=2x_1^2.x_2^2\)

Theo Vi-ét ta có : \(x_1+x_2=\dfrac{-2\left(m-2\right)}{m};x_1.x_2=\dfrac{m-3}{m}\)

\(\Rightarrow\dfrac{4\left(m-2\right)^2}{m^2}-2.\dfrac{m-3}{m}=2.\dfrac{\left(m-3\right)^2}{m^2}\)

\(\Leftrightarrow m=1\left(tm\right)\)

Vậy...........

a) \(mx^2+2\left(m-2\right)x+m-3=0\left(1\right)\)

Để \(\left(1\right)\) có hai nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m-2\right)^2-m\left(m-3\right)>0\\\dfrac{m-3}{m}< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4m+4-m^2-3m>0\\0< m< 3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7m+4>0\\0< m< 3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{4}{7}\\0< m< 3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0< m< 3\)

b) \(\dfrac{1}{x^2_1}+\dfrac{1}{x^2_2}=2\Leftrightarrow\dfrac{x^2_1+x_2^2}{x^2_1.x^2_2}=2\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1.x_2}{x^2_1.x^2_2}=2\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x_1+x_2}{x_1.x_2}\right)^2-\dfrac{4}{x_1.x_2}=2\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{\dfrac{2\left(2-m\right)}{m}}{\dfrac{m-3}{m}}\right)^2-\dfrac{4}{\dfrac{m-3}{m}}=2\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2\left(2-m\right)}{m-3}\right)^2-\dfrac{4m}{m-3}=2\)

\(\Leftrightarrow4\left(2-m\right)^2-4m\left(m-3\right)=2.\left(m-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4\left(4-4m+m^2\right)-4m^2+12=2.\left(m^2-6m+9\right)\)

\(\Leftrightarrow16-16m+4m^2-4m^2+12=2m^2-12m+18\)

\(\Leftrightarrow2m^2+4m-10=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1+\sqrt[]{6}\\m=-1-\sqrt[]{6}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=-1+\sqrt[]{6}\left(\Delta>0\Rightarrow m>-\dfrac{4}{7}\right)\)

a, \(\Delta=m^2-4\left(-4\right)=m^2+16\)> 0 

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb 

b, Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\)

Thay vào ta được \(m^2-2\left(-4\right)=5\Leftrightarrow m^2+3=0\left(voli\right)\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+2m\right)=1>0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=m+1-1=m\\x_2=m+1+1=m+2\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|=3\left|x_2\right|\Leftrightarrow\left|m\right|=3\left|m+2\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3m+6=-m\\3m+6=m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{3}{2}\\m=-3\end{matrix}\right.\)