Cho tam giác ABC cân tại A, trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy M, N sao cho AM=AN. Chứng minh rằng:
a) Các hình chiếu của BM và CN trên BC bằng nhau;
b) \(BN>\frac{\left(BC+MN\right)}{2}\)
cho tam giác ABC cân tại A, trên hai cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho AM = AN. Chứng minh rằng : a) các hình chiếu của BM và CN trên BC bằng nhau b) BN > BC + MN / 2
a) Vẽ MH \(⊥\)BC ; NK \(⊥\)BC
tam giác MBH = tam giác NCK ( cạnh huyền, góc nhọn )
suy ra BH = CK
b) tam giác ABN = tam giác ACM ( c.g.c )
suy ra BN = CM
Dễ thấy MN // BC
suy ra MN = HK ( tính chất đoạn chắn )
Ta có : BN > BK ; CM > CH ( quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc )
Vậy BN + CM > BK + CH hay BN + BN > ( BH + HK ) + CH
2BN > ( BH + CH ) + HK ; 2BN > BC + MN \(\Rightarrow BN>\frac{BC+MN}{2}\)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên 2 cạnh AB, AC lấy 2 điểm M,N sao cho AM=AN, chứng minh rằng:
a) các hình chiếu BM và CN trên BC bằng nhau
b) BN> BC+MN :2
Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lấy điểm M, N sao cho AM = AN.
a) Xác định các hình chiếu của BM, CN trên BC và chứng minh các hình chiếu đó bằng nhau.
b) Chứng minh !AMN = !ABC , từ đó suy ra MN ! BC
b: \(\widehat{AMN}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)
\(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)
Do đó: \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)
mà hai góc này ở vị trí đồng vị
nên MN//BC
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AC,AB lần lượt lấy M, N sao cho AM = AN.
a) Chứng minh A B M ^ = A C N ^
b) Gọi O là giao điểm của BM và CN. Chứng minh tam giác OBC cân.
Cho tam giác ABC cân tại Ạ. Trên các cạnh AC,AB lần lượt lấy M, N sao cho AM = AN. a) Chứng minh A B M ^ = A C N ^ b) Gọi O là giao điểm của BM. và CN. Chứng minh tam giác OBC cân
Cho ∆ABC cân tại A, trên hai cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho AM = AN. Chứng minh rằng:
a/ Các hình chiếu của BM và CN trên BC bằng nhau
b/ BN>BC+MN/2
. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AC, AB lần lượt lấy M, N sao cho AM = AN.
a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác ACN .
b) Chứng minh MN // BC.
c) Gọi O là giao điểm của BM và CN. Chứng minh tam giác OBC cân.
a) Xét tam giác ABM và tam giác ACN:
Góc A chung
AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)
AM = AN (gt)
Suy ra: tam giác ABM = tam giác ACN (c g c)
b) Xét tam giác AMN có :
AM =AN (gt)
Suy ra: tam giác AMN cân tại A
Suy ra góc ANM = \(\dfrac{\text{180 - góc A}}{2}\)
mà góc ABC = \(\dfrac{\text{180 - góc A}}{2}\) ( do tam giác ABC cân tại A)
Suy ra: góc ANM = góc ABC
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của MN và BC
Suy ra MN song song BC
a) Xét ΔABM và ΔACN có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAM}\) chung
AM=AN(gt)
Do đó: ΔABM=ΔACN(c-g-c)
b) Xét ΔAMN có AM=AN(gt)
nên ΔAMN cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)
hay \(\widehat{ANM}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔAMN cân tại A)(1)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
nên \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ANM}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ANM}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên MN//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
c) Ta có: ΔABM=ΔACN(cmt)
nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(hai góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{ABM}+\widehat{CBM}=\widehat{ABC}\)(tia BM nằm giữa hai tia BA,BC)
\(\widehat{ACN}+\widehat{BCN}=\widehat{ACB}\)(tia CN nằm giữa hai tia CA,CB)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)
và \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(cmt)
nên \(\widehat{CBM}=\widehat{BCN}\)
hay \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)
Xét ΔOBC có \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)(cmt)
nên ΔOBC cân tại O(Định lí đảo của tam giác cân)
Cho tam giác ABC cân tại A, trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy M, N sao cho AM=AN. Chứng minh rằng:
a) Các hình chiếu của BM và CN trên BC bằng nhau; b) \(BN>\frac{\left(BC+MN\right)}{2}\) .
a) Gọi H; K là hình chiếu của M, N lên BC
=> BH; CK lần lượt là hình chiếu của BM và CN trên BC
Ta có: \(\Delta\)ABC cân
=> AB = AC mà AM = AN => MB = MC
Xét \(\Delta\)MBH và \(\Delta\)NCK có:
^BHM = ^CKN = 90 độ
^MBH = ^NCK ( \(\Delta\)ABC cân => ^ABC = ^ACB )
MB = MC ( chứng minh trên )
=> \(\Delta\)MBH = \(\Delta\)NCK
=> BH = CK
b) Xét \(\Delta\)BNK vuông tại K có BN là cạnh huyền
=> BN > BK
=> 2BN > 2BK = 2 ( BH + HK )
=> 2BN > BH + BH + HK + HK
=> 2BN > BH + CK + HK + HK = BC + HK (1)
Chứng minh: HK = MN
Xét \(\Delta\)MHK và \(\Delta\)KNM có:
KM chung;
MH = NK ( \(\Delta\)MBH = \(\Delta\)NCK ) ;
^HMK = ^NKM ( so le trong; MH //NK vì cùng vuông góc với BC )
=> \(\Delta\)MHK = \(\Delta\)KMN
=> HK = MN (2)
Từ (1) ; (2) => 2BN = (BC + MN) => BN > (BC + MN)/2
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AC, AB lần lượt lấy M, N sao cho AM = AN.
a) Chứng minh BN=CM
b) Gọi O là giao điểm của BM và CN. Chứng minh tam giác OBC cân.
a: AM+MC=AC
NA+NB=AB
mà AB=AC; AM=AN
nên MC=NB
b: Xét ΔNBC và ΔMCB có
NB=MC
góc NBC=góc MCB
BC chung
=>ΔNBC=ΔMCB
=>góc OBC=góc OCB
=>ΔOBC cân tại O