a) Xét đường tròn (O; R) có I là trung điểm của dây AB

=> OI ⊥ AB (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

=> ΔMIO vuông tại I => I, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

ΔMCO vuông tại C => C, M, O cùng thuộc đương tròn đường kính OM

ΔMDO vuông tại D => D, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

=> I, M, O, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b) Xét ΔKOD và ΔKMI có: \(\widehat{KDO}=\widehat{KIM}\) (=90^o)

                                           \(\widehat{OKM}\) chung

=> ΔKOD ~ ΔKMI (g.g) => \(\dfrac{KO}{KM}=\dfrac{KD}{KI}\) => KO.KI = KD.KM

c) Xét đường tròn (O; R), tiếp tuyến MC, MD => MO là phân giác \(\widehat{CMD}\); MD = MC

Lại có OC = OD = R => OM là trung trực của CD hay OM ⊥ CD.

Mà CD // EF => OM ⊥ EF. Lại có MO là phân giác \(\widehat{CMD}\) 

=> \(\widehat{CMO}=\widehat{DMO}\) => ΔEMO = ΔFMO (g.c.g)

=> S_EMO = S_FMO =\(\dfrac{1}{2}\)S_EMF

Để S_EMF nhỏ nhất thì S_EMO nhỏ nhất

=> \(\dfrac{1}{2}\)EM.OC = \(\dfrac{1}{2}\).R.EM nhỏ nhất => EM nhỏ nhất (do R cố định)

Ta có: EM = EC + CM ≥ 2\(\sqrt{EC.CM}\)=2R (BĐT Cô-si)

Dấu "=" xảy ra ⇔ EC = CM => OC = CE = CM (t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông) => ΔCMO vuông cân tại C => OM = OC\(\sqrt{2}\) =R\(\sqrt{2}\)

Vậy để S_EMF nhỏ nhất thì M là giao điểm của (d) và (O; R\(\sqrt{2}\))

Ta có

\(AB=AC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp điểm bằng nhau)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A (1)

AO là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm của đường tròn là phân iacs của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AH\perp BC\) (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao, đường trung trực...)

\(\Rightarrow\widehat{AHE}=90^o\) (*)

Ta có

\(OM=ON\) (Bán kính (O)) \(\Rightarrow\Delta OMN\) cân tại O

Ta có \(IM=IN\) (Giả thiết) => ON là đường trung tuyến của tg OMN

\(\Rightarrow OE\perp AN\) (Trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao, đường trung trực...)

\(\Rightarrow\widehat{AIE}=90^o\) (**)

Từ (*) và (**) => I và H cùng nhìn AE dưới hai góc bằng nhau và bằng 90 độ => I và H nằm trên đường tròn đường kính AE nên 4 điểm A;H;I;E cùng nằm trên 1 đường tròn

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ một đường thẳng đi qua $A$ và không đi qua $O$, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ ($M$ nằm giữa $A$ và $N$). Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với $(O)$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Đường thẳng $BC$ cắt $AO$ tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Đường thẳng $OI$ cắt đường thẳng $BC$ tại $E$. Chứng minh $AHIE$ là tứ giác nội tiếp.

 theo gt, ta co: 

$I$ là trung điểm của $MN\; va\; MN\; la\; day\; cung\; cua\; (O)$

$=>\; OE\; vuong\; goc\; voi\; MN\; tai\; I$

$hay\; goc\; AIE=\; 90\; (1)$

$Mat\; khac,\; ta\; lai\; co\; A\; nam\; ngoai\; (O);$

$AC\; va\; AB\; lan\; luot\; la\; cac\; tiep\; tuyen\; cua\; (O)$

=> AO vuong goc voi BC

hay goc AHE = 90 (2)

tu (1) va (2) => tu giac AHIE noi tiep (vi co 2 goc ke bang nhau)

a, Ta có SA = SB (tc tiếp tuyến cắt nhau ) 

OA = OB = R

Vậy OS là đường trung trực đoạn AB 

=> SO vuông AB tại H

b, Vì I là trung điểm 

=> OI vuông NS 

Xét tứ giác IHSE ta có ^EHS = ^EIS = 90⁰

mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh ES

Vậy tứ giác IHSE nt 1 đường tròn 

=> ^ESH = ^HIO ( góc ngoài đỉnh I ) 

Xét tam giác OIH và tam giác OSE có 

^HIO = ^OSE (cmt) 

^O_ chung 

Vậy tam giác OIH ~ tam giác OSE (g.g) 

\(\dfrac{OI}{OS}=\dfrac{OH}{OE}\Rightarrow OI.OE=OH.OS\)

Xét tam giác OAS vuông tại A ( do SA là tiếp tuyến với A là tiếp điểm), đường cao AH ta có 

\(OA^2=OH.OS\)(hệ thức lượng) 

\(\Rightarrow OA^2=R^2=OI.OE\)

1: ΔOAB cân tại O

mà OI là trung tuyến

nên OI vuông góc AB

góc OIM=góc OCM=góc ODM=90 độ

=>O,I,M,D,C cùng thuộc đường tròn đường kính OM

góc DIM=góc MOD

góc CIM=góc COM

mà góc COM=góc DOM

nên góc DIM=góc CIM

=>IM là phân giác của góc CID

Câu a),b) tự làm nhé , mình chỉ giúp câu c) thôi . 

OI vuông góc NP ( Do I là trung điểm của MP ) , OF vuông góc NP ( Do OF là đường trung trực của NP )
=> O,I,F thẳng hàng
Tam giác ONF vuông tại N , đường cao NI
=> ON^2 = OI.OF
Mà ON=OA
OA^2 = OH.OM
=> OH.OM=OI.OF
=> OH/OI=OF/OM
Xét tam giác OIM và tam giác OHF có
góc MOF chung
OH/OI=OF/OM
=> Tam giác OIM đồng dạng tam giác OHF
=> góc OHF=góc OIM (=90 độ )
OH vuông HF
mà OH vuông AB
=> A,B,F thẳng hàng
=> F nằm trên đường thẳng cố định AB khi đường thẳng d quay quanh M mà vẫn thỏa mãn các yêu cầu đề bài
Điều phải chứng minh

a) Trong (O) có AB là dây cung không đi qua O và I là trung điểm AB

\(\Rightarrow OI\bot AB\Rightarrow\angle MIO=90\Rightarrow\angle MIO+\angle MCO=90+90=180\)

\(\Rightarrow MIOC\) nội tiếp

b) Vì MC,MD là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta MCD\) cân tại M có MO là phân giác \(\angle CMD\) \(\Rightarrow MO\bot CD\) mà \(EF\parallel CD\) \(\Rightarrow EF\bot MO\)

tam giác MOE vuông tại O có đường cao OC \(\Rightarrow CM.CE=OC^2\)

tam giác MOC vuông tại C có đường cao HC \(\Rightarrow OH.OM=OC^2\)

\(\Rightarrow OH.OM=CM.CE\)

Vì H là trung điểm CD (\(\Delta MCD\) cân tại M) và \(EF\parallel CD\) 

\(\Rightarrow O\) là trung điểm EF

 \(\Rightarrow S_{MEF}=2S_{MOE}=2.\dfrac{1}{2}.OC.ME=OC.\left(CM+CE\right)\)

\(\ge R.\sqrt{CM.CE}=R.2\sqrt{OC^2}=R.2OC=2R^2\)

\(\Rightarrow S_{MEF_{min}}=2R^2\) khi \(CM=CE=R\left(CM.CE=R^2\right)\)

\(\Rightarrow OM=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R\)

Vậy M nằm trên d sao cho \(OM=\sqrt{2}R\) thì diện tích tam giác MEF nhỏ nhất \(\left(=2R^2\right)\)

a: góc CMO+góc CNO=180 độ

=>CMON nội tiếp

b: Xét ΔCMA và ΔCBM có

góc CMA=góc CBM

góc MCA chung

=>ΔCMA đồng dạng với ΔCBM

=>CM^2=CA*CB