a) Xét 2 ΔAMB và ΔAMC có:

AM chung

ˆMAB=ˆMAC (do AM là phân giác)

AB=AC

Suy ra ΔAMB=ΔAMC (c-g-c)

b) Xét 2 tam giác vuông ΔABHvà ΔACK có:

AB=AC

ˆBAC chung

Suy ra ΔABH=ΔACKΔ (cạnh huyền- góc nhọn)

⇒ BH=CK (2 cạnh tương ứng)

a) Xét \(\Delta PIM;\Delta PIN\) có :

\(PM=PN\) (tam giác MNP cân tại P)

\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\) (PI là tia phân giác của \(\widehat{MPN}\) )

\(PI:chung\)

=> \(\Delta PIM=\Delta PIN\left(c.g.c\right)\)

*Cách khác :

Xét \(\Delta PIM;\Delta PIN\) có :

\(\widehat{PMI}=\widehat{PNI}\) (tam giác MNP cân tại P)

\(PM=PN\)(tam giác MNP cân tại P)

\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\) (PI là tia phân giác của góc MPN)

=> \(\Delta PIM=\Delta PIN\left(g.c.g\right)\)

b) Xét \(\Delta PEI;\Delta PFI\) có :

\(\widehat{PEI}=\widehat{PFI}\left(=90^{^O}\right)\)

\(PI:Chung\)

\(\widehat{EPI}=\widehat{FPI}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta PEI=\Delta PFI\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(IE=IF\) (2 cạnh tương ứng)

c) Ta chứng minh được \(\Delta PIK=\Delta PIH\left(g.c.g\right)\)

Suy ra : \(PK=PH\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta PHK\) có :

\(PK=PH\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta PHK\) cân tại P (đpcm)

d) Xét \(\Delta PEF\) cân tại E có :

\(\widehat{PEF}=\widehat{PFE}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta PKH\) cân tại P (cmt) có :

\(\widehat{PKH}=\widehat{PHK}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{PEF}=\widehat{PKH}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này đều ở vị trí đồng vị

=> \(\text{EF // HK (đpcm)}\)

e) Gọi O là giao điểm của IP và HK. Chứng minh \(\widehat{MON}\) = 180^o + \(\widehat{PMO}+\widehat{PNO}+\widehat{HIK}\)

a) Xét \(\Delta PAM;\Delta PCN\) có :

\(\widehat{PAM}=\widehat{PCN}\left(=90^{^O}\right)\)

\(PM=PN\) (Tam giác MNP cân tại P)

\(\widehat{P}:Chung\)

=> \(\Delta PAM=\Delta PCN\)(cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(PA=PC\) (2 cạnh tương ứng)

* Mình sửa lại chút nhé , chứng minh CA // MN (có gì sai sót thì bạn góp ý nhé)

Xét \(\Delta PCA\) cân tại P (PA =PC - cmt) có :

\(\widehat{PCA}=\widehat{PAC}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta PMN\) cân tại P có :

\(\widehat{PMN}=\widehat{PNM}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{PCA}=\widehat{PMN}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra : CA // MN (đpcm)

b) Xét \(\Delta CMN;\Delta AMN\) có:

\(\widehat{CMN}=\widehat{ANM}\) (tam giác MPN cân tại P)

\(MN:chung\)

\(\widehat{MCN}=\widehat{NAM}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta CMN=\Delta AMN\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(\widehat{CNM}=\widehat{AMN}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta IMN\) có :

\(\widehat{IMN}=\widehat{INM}\) (do \(\widehat{CNM}=\widehat{AMN}\)- cmt)

=> \(\Delta IMN\) cân tại I (đpcm)

c) Xét \(\Delta PMK;\Delta PNK\) có :

\(PM=PN\left(gt\right)\)

\(\widehat{PMK}=\widehat{PNK}\) (Tam giác MNP cân tại P)

\(PK:chung\)

=> \(\Delta PMK=\Delta PNK\left(c.g.c\right)\)

=> \(MK=NK\) (2 cạnh tương ứng)

Do đó : K là trung điểm của MN

moi hok lop 6

a) Xét ΔPIM và ΔPIN có 

PM=PN(gt)

PI chung

MI=NI(I là trung điểm của MN)

Do đó: ΔPIM=ΔPIN(c-c-c)

b) Ta có: PM=PN(gt)

nên P nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: MI=NI(I là trung điểm của MN)

nên I nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra PI là đường trung trực của MN

hay PI\(\perp\)MN(đpcm)

c) Xét ΔPIM vuông tại I và ΔEIN vuông tại I có 

PI=EI(gt)

IM=IN(I là trung điểm của MN)

Do đó: ΔPIM=ΔEIN(hai cạnh góc vuông)

nên PM=EN(hai cạnh tương ứng)

a: Xét ΔPIM và ΔPIN có

PM=PN

\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\)

PI chung

Do đó: ΔPIM=ΔPIN

b: Xét ΔPEI vuông tại E và ΔPFI vuông tại F có

PI chung

\(\widehat{EPI}=\widehat{FPI}\)

Do đó: ΔPEI=ΔPFI

=>IE=IF

c: Xét ΔIEK vuông tại E và ΔIFH vuông tại F có

IE=IF

\(\widehat{EIK}=\widehat{FIH}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIEK=ΔIFH

=>EK=FH

Ta có: PE+EK=PK

PF+FH=PH

mà PE=PF(ΔPEI=ΔPFI)

và EK=FH

nên PK=PH

=>ΔPHK cân tại P

d: Xét ΔPKH có \(\dfrac{PE}{PK}=\dfrac{PF}{PH}\)

nên EF//HK

a) Do \(\Delta MNP\) cân tại P (gt)

\(\Rightarrow PM=PN\)

Do PI là tia phân giác của \(\widehat{MPN}\) (gt)

\(\Rightarrow\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\)

Xét \(\Delta PIM\) và \(\Delta PIN\) có:

\(PM=PN\) (cmt)

\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\) (cmt)

\(PI\) là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta PIM=\Delta PIN\left(c-g-c\right)\)

b) Do \(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EPI}=\widehat{FPI}\)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta EPI\) và \(\Delta FPI\) có:

PI là cạnh chung

\(\widehat{EPI}=\widehat{FPI}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta EPI=\Delta FPI\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow IE=IF\) (hai cạnh tương ứng)

c) Do \(\Delta EPI=\Delta FPI\) (cmt)

\(\Rightarrow PE=PF\) (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta IEK\) và \(\Delta IFH\) có:

\(IE=IF\left(cmt\right)\)

\(\widehat{EIK}=\widehat{FIH}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta IEK=\Delta IFH\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

\(\Rightarrow EK=FH\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(PE=PF\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow EK+PE=FH+PF\)

\(\Rightarrow PK=PH\)

\(\Rightarrow\Delta PHK\) cân tại P

d) Do \(\Delta PHK\) cân tại P (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{PKH}=\widehat{PHK}=\dfrac{180^0-\widehat{MPN}}{2}\)   (1)

Do PE = PF (cmt)

\(\Rightarrow\Delta PEF\) cân tại P

\(\Rightarrow\widehat{PEF}=\widehat{PFE}=\dfrac{180^0-\widehat{MPN}}{2}\)   (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{PKH}=\widehat{PEF}\)

Mà \(\widehat{PKH}\) và \(\widehat{PEF}\) là hai góc đồng vị

\(\Rightarrow EF\) // \(HK\)