góc AIM+góc AKM=180 độ

=>AIMK nội tiếp

góc MKC+góc MPC=180 độ

=>MPCK nội tiếp

tứ giác AIMK có

góc AIM = góc AKM = 90 độ

suy ra AIMK là tứ giác nội tiếp

+) Bước 1: Chứng minh \(\Delta\) FPO vuông tại P

Ta có: \(\widehat{O_1}=\widehat{FOP}=\widehat{FOE}=\widehat{FOM}+\widehat{MOE}=\frac{1}{2}\widehat{COM}+\frac{1}{2}\widehat{MOB}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\)

=> \(\widehat{FOP}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\)

mà \(\widehat{FCP}=\widehat{FCB}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\) ( góc nội tiếp = 1/2 góc ở tâm khi chắn cùng một cung)

=> \(\widehat{FOP}=\widehat{FCP}\)

=> Tứ giác CFPO nội tiếp  => \(\widehat{FPO}+\widehat{FCO}=180^o\Rightarrow\widehat{FPO}=180^o-90^o=90^o\)

=>  \(\Delta\) FPO vuông tại P

+) Bước 2: Chứng minh  \(\Delta\) EQO vuông tại Q. ( Chứng minh tương tự)

+) Bước 3: Chứng minh tỉ số: \(\frac{PQ}{EF}=\frac{OQ}{OE}\)

Xét  \(\Delta\) FPO vuông tại P và  \(\Delta\) EQO vuông tại Q có: \(\widehat{O_1}\) chung 

=>  \(\Delta\) FPO  ~  \(\Delta\) EQO

=> \(\frac{OQ}{OE}=\frac{OP}{OF}\)

Xét  \(\Delta\) OQP và  \(\Delta\) OEF  có: \(\frac{OQ}{OE}=\frac{OP}{OF}\)( chứng minh trên ) và \(\widehat{O_1}\) chung

=>  \(\Delta\) OQP ~  \(\Delta\) OEF

=> \(\frac{PQ}{EF}=\frac{OQ}{OE}\)(1) 

+) Bước 4: Chứng minh Tỉ số \(\frac{PQ}{EF}\)không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC

Xét \(\Delta\)EQO vuông tại Q  => \(\cos\widehat{O_1}=\frac{OQ}{OE}\)

Mặt khác : \(\widehat{O_1}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\) ( xem chứng minh ở Bước 1) 

=> \(\cos\frac{1}{2}.\widehat{BOC}=\frac{OQ}{OE}\) (2)

Từ (1) ; (2) => \(\frac{PQ}{EF}=\cos\frac{1}{2}.\widehat{BOC}\)không đổi  khi M di chuyển. ::))

Bạn tự vẽ hình nhá.

Vì E là trung điểm MN => OE vuông góc MN => góc OEA =90độ

Xét tứ giác: AEOC có góc AEO + góc ACO=180độ => AEOC nội tiếp => A, E, O, C cùng thuộc 1 đường tròn

Xét tứ giác: ABEO có góc ABO + góc AEO=90độ => ABEO nội tiếp => A, E, O, B cùng thuộc 1 đường tròn

=> A, B, C, O, E cùng thuộc 1 đường tròn.

b, Ta có: góc BNC= 1/2 góc BOC (góc nội tiếp bằng 1/2 góc ở tâm) => 2.góc BNC= góc BOC

MÀ góc ABOC nội tiếp (do góc ABO+ góc ACO = 180độ) => gó BAC + góc BOC=180độ

=> 2.góc BNC+ góc BAC= 180độ

c, ta có: AMN là cát tuyến, AB là tiếp tuyến  của (O) => AB²=AM.AN

Lại có tg AHB đồng dạng tg ABO (g-g) => \(\frac{AH}{AB}=\frac{AB}{AO}\)=> AB²=AH.AO

=> AH.AO= AM.AN => \(\frac{AM}{AH}=\frac{AO}{AN}\)

Và góc MAH=góc OAN => tg MAH đồng dạng tg OAN (c-g-c) => góc AMH = góc AON

Mà góc AMH + góc HMN =180độ

=> góc AON + góc HMN =180độ

=> tứ giác MNOH nội tiếp