a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3

MInA=3<=>x=y=z=1

b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)

1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)

 \(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)

max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t

\(A=x^2+y^2=\frac{\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{2}\ge\frac{\left(1.x+1.y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)A min = 1 khi x =y = 1/2

\(\sqrt{A}=\sqrt{x^2+y^2}\le\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}=x+y=1\)( \(\sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}\))

=> A\(\le1\) => Max A = 1 khi x =0;y =1 hoặc x =1 ; y =0

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si vào 2 số dương \(x^2,\frac{1}{x^2}\)ta có:
\(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}=2\)\(\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si vào hai số dương \(y^2,\frac{1}{y^2}\)ta có :

\(y^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{y^2.\frac{1}{y^2}}=2\)\(\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge4\)

\(\Rightarrow\)\(A_{min}=4\Leftrightarrow x=y=1\)

bạn ơi x+y<=1 mà bạn tìm ra x+y=2 rồi

Có lẽ là thế này ạ,sai đừng trách em (em mới lớp 7 thôi)

Ta dự đoán xảy ra cực trị tại x = y = ¹/₂.Ta biến đổi như sau:

\(A=\left(x^2+\frac{1}{4}\right)+\left(y^2+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{x^2}+4\right)+\left(\frac{1}{y^2}+4\right)-\frac{17}{2}\)

Áp dụng BĐT Cô si (AM- GM) cho các biểu thức trong ngoặc,ta được:

\(A\ge2\sqrt{\frac{x^2.1}{4}}+2\sqrt{\frac{y^2.1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{x^2}.4}+2\sqrt{\frac{1}{y^2}.4}-\frac{17}{2}\)

\(=\left(x+y\right)+2\left(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}\right)-\frac{17}{2}\)

\(=\left(x+y\right)+4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)-\frac{17}{2}\ge16\left(x+y\right)+\frac{16}{x+y}-15\left(x+y\right)-\frac{17}{2}\)

\(\ge2\sqrt{16\left(x+y\right).\frac{16}{x+y}}-15.1-\frac{17}{2}\)

\(=2.16-\frac{47}{2}=32-\frac{47}{2}=\frac{17}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy...

\(A=\frac{\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)}{x^2y^2}=\frac{x^2y^2-x^2-y^2+1}{x^2y^2}=\frac{x^2y^2-x^2-y^2+\left(x+y\right)^2}{x^2y^2}=\frac{x^2y^2+2xy}{x^2y^2}\)\(=1+\frac{2}{xy}\)

Ta có BĐT: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy;\forall x,y>0\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y.

\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

Có: \(A=1+\frac{2}{xy}\ge1+\frac{8}{\left(x+y\right)^2}=1+8=9\)

Vậy GTNN của A=9 khi x=y=1/2

Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2=6\)

Dấu "=" xảy ra khio x=y=1/2

1/a/
\(A=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}=\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{4}{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{x^2+y^2}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}-\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=16-2=14\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

b/

\(4B=\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{8}{xy}+16xy=\left(\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\right)+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)+\frac{5}{xy}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{xy}.16xy}+\frac{5}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)

\(=16+8+20=44\)

\(\Rightarrow B\ge11\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

2/

\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(1+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)