1.

Vecto pháp tuyến của $\Delta_1: (10,5)$

$\Rightarrow$ vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_1}=(-5,10)\)

Vecto chỉ phương của $\Delta_2$ \(\overrightarrow{u_2}=(1,-1)\)

Cosin góc giữa 2 đường thẳng:

\(\cos (\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2})=\frac{|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|-5.1+10(-1)|}{\sqrt{(-5)^2+10^2}.\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}\)

2.

Vecto pháp tuyến của $\Delta_1$: \(\overrightarrow{n_1}=(1,2)\)

Vecto pháp tuyến của $\Delta_2$: \(\overrightarrow{n_2}=(1,-1)\)

Cosin góc giữa 2 đường thẳng

\(\cos (\Delta_1,\Delta_2)=\frac{|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|.|\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|1.1+2(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}.\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\)

Đáp án A

Bài 1:

\(\overrightarrow{u_{\Delta1}}=\left(2;-3\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{\Delta1}}=\left(3;2\right)\)

\(\Rightarrow\Delta_1:3\left(x-4\right)+2\left(y-1\right)=0\)

\(\Delta_1:3x+2y-14=0\)

\(\Rightarrow\Delta_1\equiv\Delta_2\)

Bài 6:

\(\frac{11}{12}\ne-\frac{12}{11}\Rightarrow\Delta_1\equiv\Delta_2\)

Bài 10:

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u_{AB}}=\left(4;2\right)\)

21.

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;2\right)=-2\left(1;-1\right)\) nên pt đường thẳng AB:

\(1\left(x-1\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+y-3=0\)

\(\overrightarrow{CD}=\left(-5;0\right)=-5\left(1;0\right)\) nên pt CD có dạng:

\(0\left(x-2\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow y-2=0\)

Giao điểm 2 đường thẳng có tọa độ là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-3=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

31.

\(\Delta_1\) nhận \(\left(m+1;-1\right)\) là 1 vtcp

\(\Delta_2\) nhận \(\left(3;-4\right)\) là 1 vtpt

Để hai đường thẳng song song:

\(3\left(m+1\right)+4=0\Rightarrow m=-\frac{7}{3}\)

33.

Đường thẳng d song song \(\Delta\) nên nhận \(\left(3;-4\right)\) là 1 vtpt

\(\Rightarrow\) Nhận \(\left(4;3\right)\) là 1 vtcp

Phương trình tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=4t\\y=3t\end{matrix}\right.\)

41.

\(\Delta_1\) nhận \(\left(2;-3m\right)\) là 1 vtpt

\(\Delta_2\) nhận \(\left(m;4\right)\) là 1 vtpt

Để 2 đường thẳng cắt nhau

\(\Leftrightarrow2.4\ne-3m^2\Leftrightarrow m^2\ne-\frac{8}{3}\) (luôn đúng)

Vậy hai đường thẳng cắt nhau với mọi m

\(y=x^3-3x^2+2x+2\Rightarrow y'=3x^2-6x+2\)

Vi \(\Delta\perp d:y=x-3\Rightarrow y'=-1\Leftrightarrow3x^2-6x+2=-1\)

\(\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1-3+2+2=2\)

\(\Rightarrow\Delta:y=-1\left(x-1\right)+2\)

Gọi d là phân giác góc hợp bởi d1 và d2

Điểm N bất kì thuộc d có tọa độ \(N\left(x;y\right)\Rightarrow d\left(N;d_1\right)=d\left(N;d_2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left|3x+4y+1\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\left|x-2y+4\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|3x+4y+1\right|=\sqrt{5}\left|x-2y+4\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+4y+1=\sqrt{5}x-2\sqrt{5}y+4\sqrt{5}\\3x+4y+1=-\sqrt{5}x+2\sqrt{5}y-4\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(3-\sqrt{5}\right)x+\left(4+2\sqrt{5}\right)y+1-4\sqrt{5}=0\\\left(3+\sqrt{5}\right)x+\left(4-2\sqrt{5}\right)y+1+4\sqrt{5}=0\end{matrix}\right.\)