Gọi \(d=ƯCLN\left(3n-2;4n-3\right)\) \(\left(d\in N\right)\)

Khi đó \(3n-2⋮d\Rightarrow4.\left(3n-2\right)⋮d\)( vì 3n-2 chia hết cho d  nên 4.(3n-2) cũng luôn chia hết cho d ) 

\(4n-3⋮d\Rightarrow3.\left(4n-3\right)⋮d\)( tương tự trên )

Do đó \(3.\left(4n-3\right)-4.\left(3n-2\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Do đó \(ƯCLN\left(3n-2;4n-3\right)=1\)

Khi đó phân số \(\frac{3n-2}{4n-3}\)tối giản

Thế bạn làm thế nào mà ra 4 và 5

(3n-2) nhân thêm với 4 thì = 4(3n-2) = 12n - 8

(4n-3) nhân thêm với 3 thì = 3(4n-3) = 12n - 9

nhân thêm với 3; 4 để chứng minh hiệu 4(3n-2) - 3(4n-3) = 1

=> d = 1

=> 3n-2/4n-3 là phân số tối giản

Ta có : \(\frac{3n^3+10n^2-5}{3n+1}=n^2+3n-\frac{6}{3n+1}\)

Để \(3n^3+10n^2-5⋮3n+1\) \(\Leftrightarrow6⋮3n+1\)

\(\Rightarrow3n+1\inƯ\left(6\right)=\left\{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6\right\}\)

\(\Rightarrow3n=\left\{-7;-4;-3;-2;0;1;2;5\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{-\frac{7}{3};-\frac{4}{3};-1;-\frac{2}{3};0;\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right\}\)

Mà n là số nguyên nên \(n=\left\{-1;0\right\}\)

TK :

Gọi ƯCLN(2n-1; 3n+2) là d. Ta có:

2n-1 chia hết cho d => 6n-3 chia hết cho d

3n+2 chia hết cho d => 6n+4 chia hết cho d => 6n-3+7

=> 6n-3+7-(6n-3) chia hết cho d

=> 7 chia hết cho d

Giả sử phân số rút gọn được

=> 2n-1 chia hết cho 7

=> 2n-1+7 chia hết cho 7

=> 2n+6 chia hết cho 7

=> 2(n+3) chia hết cho 7

=> n+3 chia hết cho 7

=> n = 7k - 3

Vậy để phân số trên tối giản thì n ≠ 7k - 3 

Đặt \(A=\dfrac{1}{2\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot8}+\dfrac{1}{8\cdot11}+...+\dfrac{1}{\left(3n+2\right)\left(3n+5\right)}\)

\(3A=\dfrac{3}{2\cdot5}+\dfrac{3}{5\cdot8}+\dfrac{3}{8\cdot11}+...+\dfrac{3}{\left(3n+2\right)\left(3n+5\right)}\)

\(3A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{11}+...+\dfrac{1}{3n+2}-\dfrac{1}{3n+5}\)

\(3A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3n+5}\)

\(3A=\dfrac{3n+3}{2\left(3n+5\right)}\)

\(A=\dfrac{n+1}{6n+10}\)