Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Không Tên
Xem chi tiết
Không Tên
Xem chi tiết
Không Tên
Xem chi tiết
Kiệt Nguyễn
21 tháng 7 2020 lúc 20:58

Theo giả thiết, ta có: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2c^2\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1\)

Áp dụng BĐT AM - GM cho 5 số, ta được: \(\hept{\begin{cases}a.a.a.b.b\le\frac{a^5+a^5+a^5+b^5+b^5}{5}=\frac{3a^5+2b^5}{5}\\b.b.b.a.a\le\frac{b^5+b^5+b^5+a^5+a^5}{5}=\frac{3b^5+2a^5}{5}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{5\left(a^5+b^5\right)}{5}\ge a^2b^2\left(a+b\right)\)hay \(a^5+b^5\ge a^2b^2\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\)(1) .

Tương tự, ta có: \(\frac{1}{\sqrt{b^5+c^5}}\le\frac{1}{bc\sqrt{b+c}}\)(2); \(\frac{1}{\sqrt{c^5+a^5}}\le\frac{1}{ca\sqrt{c+a}}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\)()

Xét \(\left(\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\right)^2\le\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\left(\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}\right)\)\(=\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\le\sqrt{\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\sqrt{\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}}\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

Khách vãng lai đã xóa
Không Tên
Xem chi tiết
Trần Phúc Khang
1 tháng 3 2020 lúc 15:25

Áp dụng cosi ta có \(a.a.a.b.b\le\frac{3a^5+2b^5}{5};b.b.b.a.a\le\frac{3b^5+2a^5}{5}\)

=> \(a^5+b^5\ge a^2b^2\left(a+b\right)\)

Khi đó

\(VT\le\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}+\frac{1}{bc\sqrt{b+c}}+\frac{1}{ac\sqrt{a+c}}\)

Áp dụng BĐT buniacoxki  ta có :

\((\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}+\frac{1}{bc\sqrt{b+c}}+\frac{1}{ac\sqrt{a+c}})^2\le\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\left(\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}+\frac{1}{c^2\left(b+c\right)}+...\right)\)

Mà 1/a^2+1/b^2+1/c^2=1(giả thiết)

=> \(VT\le VP\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=can(3)

Khách vãng lai đã xóa
khoa le nho
2 tháng 3 2020 lúc 10:18

hay quá 

Khách vãng lai đã xóa
Không Tên
2 tháng 3 2020 lúc 10:39

Trần Phúc Khang Đúng ngay ý tưởng chế đề:3

Khách vãng lai đã xóa
Không Tên
Xem chi tiết
Phan PT
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 12 2020 lúc 17:32

\(VT=\sum\dfrac{a^2}{a+3abc+4\left(ab+ac\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+9abc+8\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^3+\dfrac{8}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Đề bài bị sai con số bên vế phải

tthnew
Xem chi tiết
Nguyen
Xem chi tiết
zZz Cool Kid_new zZz
Xem chi tiết
Nguyễn Mạnh Kiên
26 tháng 8 2019 lúc 20:47

nguyem,ưdjxrckrk

Trần Phúc Khang
26 tháng 8 2019 lúc 21:22

Áp dụng cosi ta có 

\(\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\frac{b+c}{2a\sqrt[4]{2}}\ge5\sqrt[5]{\frac{1}{\sqrt[4]{2^5}}}=\frac{5}{\sqrt[4]{2}}\)

Khi đó

\(4P\ge\frac{15}{\sqrt[4]{2}}+\left(4-\frac{1}{2\sqrt[4]{2}}\right)\left(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\right)\)

Mà \(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+...\ge6\)

=> \(4P\ge\frac{15}{\sqrt[4]{2}}+\left(4-\frac{1}{2\sqrt[4]{2}}\right).6=24+\frac{12}{\sqrt[4]{2}}\)

=> \(P\ge6+\frac{3}{\sqrt[4]{2}}\)

dấu bằng xảy ra khi a=b=c