a: =>|2x-3|=4x+9

TH1: x>=3/2

=>4x+9=2x-3

=>2x=-12

=>x=-6(loại)

TH2: x<3/2

PT sẽ là 4x+9=3-2x

=>6x=-6

=>x=-1(nhận)

b: =>x^2+2x+1-|3x-5|-x-x^2-2x-4=0

=>-x-3-|3x-5|=0

=>x+3+|3x-5|=0

=>|3x-5|=-x-3

TH1: x>=5/3

Pt sẽ là 3x-5=-x-3

=>4x=2

=>x=1/2(loại)

TH2: x<5/3

Pt sẽ là 3x-5=x+3

=>2x=8

=>x=4(loại)

\(\frac{3x+2}{x-1}+\frac{2x-4}{x+2}=5\)

<=> \(\frac{3x+2}{x-1}+\frac{2\left(x-2\right)}{x+2}=5\)

<=> (3x + 2)(x + 2) + 2(x - 2)(x - 1) = 5(x - 1)(x + 2)

<=> 3x² + 6x + 2x + 4 + 2x² - 2x - 4x + 4 = 5x² + 10x - 5x - 10

<=> 5x² + 2x + 8 = 5x² + 5x - 10

<=> 5x² + 2x + 8 - 5x² = 5x - 10

<=> 2x + 8 = 5x - 10

<=> 2x + 8 - 5x = -10

<=> -3x + 8 = -10

<=> -3x = -10 - 8

<=> -3x = -18

<=> x = 6

ĐK: \(x\ne k\pi\)

\(\dfrac{1+sin2x+cos2x}{1+cot^2x}=sinx.\left(sin2x+2sin^2x\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1+sin2x+cos2x}{\dfrac{cos^2x+sin^2x}{sin^2x}}=sinx.\left(2sinx.cosx+2sin^2x\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1+sin2x+cos2x}{\dfrac{1}{sin^2x}}=2sin^2x.\left(cosx+sinx\right)\)

\(\Leftrightarrow1+sin2x+cos2x=2cosx+2sinx\)

\(\Leftrightarrow1+2sinx.cosx+2cos^2x-1=2cosx+2sinx\)

\(\Leftrightarrow\left(cosx-1\right).\left(sinx+cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(cosx-1\right).sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=1\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x+\dfrac{\pi}{4}=k\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.\)

1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)

\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)

\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)  (*)

Thật vậy, (*)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:

VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)

Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\). 

Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)

 Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)

\(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{2}{x^2-2x}=\dfrac{1}{x}\left(đk:x\ne0,x\ne2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+2\right)x-2}{x\left(x-2\right)}=\dfrac{x^2-2x}{x\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-2=x^2-2x\)

\(\Leftrightarrow4x=2\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Cho mình sửa lại nhé:

\(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{2}{x^2-2x}=\dfrac{1}{x}\left(đk:x\ne0,x\ne2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+2\right)x-2}{x\left(x-2\right)}=\dfrac{x-2}{x\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-2=x-2\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(ktm\right)\\x=-1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

1.

\(2x+1\ge0\Rightarrow x\ge-\dfrac{1}{2}\)

Khi đó pt đã cho tương đương:

\(x^2+2x+2m=\left(2x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+2m=4x^2+4x+1\)

\(\Leftrightarrow3x^2+2x+1=2m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=3x^2+2x+1\) trên \([-\dfrac{1}{2};+\infty)\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{3}< -\dfrac{1}{2}\)

\(f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}\) ; \(f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\) Pt đã cho có 2 nghiệm pb khi và chỉ khi \(\dfrac{2}{3}< 2m\le\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}< m\le\dfrac{3}{8}\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{8}\)

3.

Đặt \(x^2=t\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{t}\\x=-\sqrt{t}\end{matrix}\right.\)

Pt trở thành: \(t^2-3mt+m^2+1=0\) (1)

Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm dương pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=9m^2-4\left(m^2+1\right)>0\\t_1+t_2=3m>0\\t_1t_2=m^2+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

Ta có:

\(M=x_1+x_2+x_3+x_4+x_1x_2x_3x_4\)

\(=-\sqrt{t_1}-\sqrt{t_2}+\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}+\left(-\sqrt{t_1}\right)\left(-\sqrt{t_2}\right)\sqrt{t_1}.\sqrt{t_2}\)

\(=t_1t_2=m^2+1\) với \(m>\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

2.

ĐKXĐ: \(1\le x\le3\)

Pt tương đương:

\(-x^2+4x-3=2m+3x-x^2\)

\(\Leftrightarrow x=2m+3\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(1\le2m+3\le3\)

\(\Leftrightarrow-1\le m\le0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=1\)

Chọn B

B

B

Thay x=-1 vào pt, ta được:

\(2m-1+2=m+3\)

=>2m+1=m+3

hay m=2