Đáp án A

Theo giả thiết, diện tích hình vuông sau sẽ bằng 1 2  diện tích hình vuông trước.

Khi đó, tổng diện tích cần tính là tổng của cấp số nhân với u 1 = 1 , , với công bội  q = 1 2 .

Vậy tổng S = u 1 1 − q n 1 − q = 1 1 − 2 − n 1 − 1 2

 mà n → + ∞ ⇒ 2 − n → 0 suy ra S=2

a) Gọi \({u_n}\) là độ dài cạnh của hình vuông thứ \(n\).

Ta có: \({u_1} = 1;{u_2} = \frac{{{u_1}}}{2}.\sqrt 2  = \frac{{{u_1}}}{{\sqrt 2 }};{u_3} = \frac{{{u_2}}}{2}.\sqrt 2  = \frac{{{u_2}}}{{\sqrt 2 }};...\)

Từ đó ta thấy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Vậy \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 1.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)

Diện tích của hình vuông thứ \(n\) là: \({a_n} = u_n^2 = {\left( {\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}} \right)^2} = \frac{1}{{{2^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)

Vậy \({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\)

Đây là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Vậy \({S_n} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right)\).

\(\lim {S_n} = \lim 2\left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) = 2\left( {1 - \lim \frac{1}{{{2^n}}}} \right) = 2\left( {1 - 0} \right) = 2\).

b) Chu vi của hình vuông thứ \(n\) là: \({p_n} = 4{u_n} = 4.\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}} = \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)

Vậy \({Q_n} = 4 + \frac{4}{{\sqrt 2 }} + \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}} = 4\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}} \right)\)

\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Vậy \(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = \left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right)\).

\( \Rightarrow {Q_n} = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\lim {Q_n} = \lim 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right) = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \lim \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right)\\ &  = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - 0} \right) = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\end{array}\).

1 \(m^2\)

Gọi diện tích hình vuông lớn nhất là 1. Thì tổng diện tích sẽ là:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ….. + 1/n =

Nhân với 2 ta được:

2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ….. + 1/(n :2)  =

Tổng diện tích là:  (Trừ đi biểu thức ban đầu)

2 – (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ….. + 1/n:2+ 1/n) = 2 – 1/n

n càng lớn thì 1/n càng bé (không đáng kể).

Tổng diện tích gấp 2 lần diện tích ban đầu.

Tổng diện tích là:

1 x 1 x 2 = 2 (m²)

Gọi diện tích hình vuông lớn nhất là 1. Thì tổng diện tích sẽ là:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ….. + 1/n =

Nhân với 2 ta được:

2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ….. + 1/(n :2)  =

Tổng diện tích là:  (Trừ đi biểu thức ban đầu)

2 – (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ….. + 1/n:2+ 1/n) = 2 – 1/n

n càng lớn thì 1/n càng bé (không đáng kể).

Tổng diện tích gấp 2 lần diện tích ban đầu.

Tổng diện tích là:

1 x 1 x 2 = 2 (m²)

bài đó trog toán vui tuần này chứ zì

Độ dài cạnh hình vuông thứ 15 :

\(256:\left(\left(15+1\right)x8\right)=2\left(cm\right)\)

b) Chu vi hình vuông thứ 15 :

\(2x4=8\left(cm\right)\)

Chu vi hình vuông thứ 13 :

\(4x4=64\left(cm\right)\)

Chu vi hình vuông thứ 11 :

\(8x4=32\left(cm\right)\)

Chu vi hình vuông thứ 9 :

\(16x4=64\left(cm\right)\)

Chu vi hình vuông thứ 7 :

\(32x4=128\left(cm\right)\)

Chu vi hình vuông thứ 5 :

\(64x4=256\left(cm\right)\)

Chu vi hình vuông thứ 3 :

\(128x4=512\left(cm\right)\)

a) Diện tích hình vuông ban đầu bằng 1.1 = 1 (đvdt)

Vì người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới nên diện tích hình mới sẽ bằng một nửa hình trước.

Do đó ta có \({u_1} = {S_1} = 1,q = \frac{1}{2}\)

Vậy \({S_n} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\)

b) \(S = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\)